248 E. Lamahle. — Essai sur les principes 



sont respectivement 



dij=f'(x]àx 



dxc=¥'[v)Av. 



S'agit-il maintenant de la loi à laquelle obéissent les grandeurs 

 Ay et Au lorsqu'elles s'engendrent l'une par l'autre à partir de 7xto , 

 l'on a 



Ay=^(f'{x) + >,]Ax 

 AT=(F'(y)-t-?')Au 



et par suite 



ày^fix) +>}][¥' {v)+-/]àv 

 Or les quantités >; et tj' sont toutes deux iadéGniment décrois- 

 santes à mesure que Ax converge vers zéro , il vient donc 

 dy=^f'[x].F[v]-Av=:f'{x)-dx. 



Dans cet exemple y est en même temps fonction de x et fonction 

 de fonction de v- A la différence Ay répondent deux lois de généra- 

 tion. L'une de ces lois est relative à l'accroissement Ax , l'autre à 

 l'accroissement Au. Pour passer de la première à la seconde il suffît , 

 comme on vient de le voir , de remplacer Ax par dx. Delà résulte 

 une règle générale qu'il convenait d'éclaircir mais qu'il était d'ail- 

 leurs facile d'établir à priori. En effet , lorsque l'on considère iso- 

 lément chacune des équations différentielles 



dy=f'{x)Ax. (1) 



dx='F'{v]Av (2) 



l'on voit que Ax et dx sont tout-à-fait arbitraires , on peut donc 

 adopter pour Ax dans la première de ces équations la valeur que 

 dx prend dans la seconde , et écrire en conséquence 



dy=f'{x)dx. (3) 



Sous celte forme l'équation (3) conserve le sens de l'équation (1) 

 el en outre elle est susceptible de se combiner directement avec 

 l'équation (2) , de manière à acquérir un sens nouveau. 



On aurait de même en supposant v fonction d'une quatrième 

 variable 



dx^¥'{v)dv (4) 



et ainsi de suite les équations (3) , (4) , etc. subsistant toutes 

 ensemble. 



7) Lorsqu'il existe entre n variables (n — 1) relations, chaque 



