250 E. Lahmarle. — Essai sur les principet 



z étant une fonction de x. Il vient 



dy=\og. sin 3;[zx^-'dx-\-x''log. x.dz]-\-x^col. x.dx. 



Différentielles des ordres supérieurs. 



15) Reprenons l'équation différentielle 



dy=f'{x]AX (1) 



Dans laquelle x est par hypothèse variable indépendante. Rap- 

 pelons nous d'ailleurs que l'accroissement Ax est enlièrement arbi- 

 traire et susceptible d'une détermination quelconque, positive ou 

 négative. 



Lorsque dans l'équation (1) l'on attribue à x une valeur parti- 

 culière, cette équation fournit l'expression correspondante de la 

 loi de génération, et c'est ainsi que l'on peut obtenir successive- 

 ment toutes les déterminations que cette loi comporte. Dans cha- 

 cune de ces déterminations , les accroissements dy , àx restent 

 toujours variables , tandis que la dérivée f'[x) n'y figure jamais que 

 comme quantité constante. 



Admeton au contraire que la variable engagée sous le signe de 

 la fonction reste indéterminée , il est visible qu'une pareille hypo- 

 thèse ne peut avoir pour objet que la comparaison des expressions 

 diverses, successivement affectées par la loi de génération. En ce 

 cas l'on est naturellement conduit à prendre , pour terme commun 

 de comparaison , l'effet qui résulte du développement continu de 

 celte loi, lorsqu'on la suppose permanente dans un certain inter- 

 valle. Or, cet effet, exprimé par dy , dépend à la fois de f'[x) et 

 de Ax- On voit donc que , pour donner à la comparaison dont il 

 s'agit un sens précis et une signification réelle , il faut nécessaire- 

 ment attribuer à l'intervalle Ax une valeur quelconque, toujours 

 constante. 



Cela posé , Ax étant quelconque mais constant , l'accroissement 

 dy ne dépend plus que de a; , et il constitue une nouvelle fonction 

 qui peut être différenciée , comme l'a été la première. On a alors 

 en désignant par a^x la valeur attribuée à Ax 



dy=f'[x]A^x 



et l'on en déduit par la différenciation 



d.dy^f"[T)A,x.Ax. 



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