fondamentaux de l'analyse transcendante. 257 



Observons que la loi ainsi exprimée est celle qui régit la généra- 

 tion de la différence A.dy. Elle est susceptible , comme on le voit , 

 d'autant de déterminations particulières que la dérivée seconde f"[r) 

 comporte de valeurs distinctes. On peut donc appliquer à celte géné- 

 ration les considérations développées ci-dessus , et si l'on se propose 

 d'Étudier la loi nouvelle dans ses diverses expressions , il faudra , 

 comme tonl-à-l'heure , attribuer à la différence Ax une seule et 

 même valeur quelconque , toujours constante. Dès lors on est con- 

 duit à différencier de nouveau et l'on trouve 



d-d'dy=f"\x)&^x.ii2X.Ax. 



Les mêmes raisonnements , toujours répétés , permettraient de 

 poursuivre indéfiniment ces différenciations successives. 



Les accroissements A, a; , A^x , A^x , etc., restant arbitraires , bien 

 qu'ils soient supposés constants , il nous est permis pour plus de 

 simplicité de les prendre tous égaux à Ax. En ce cas , si nous rappe- 

 lons par un indice le nombre de différenciations effectuées , nous 

 aurons en général pour expression de la loi qui régit la génératiou 

 de la différence A.d^-'y 



d-d''-'tj = d°y=f(x]Ax'' 

 ou ce qui revient au même 



dr-'{x)=d.^^,^r^x]Ax. 



16) Les notions qui précèdent peuvent suffire en ce qui concerne 

 la définition des différentielles des ordres supérieurs. Cependant 

 elles ne donnent point une idée précise de ce que sont ces diffé- 

 rentielles par rapport aux différences du même ordre qui leur cor- 

 respondent, et, ne fut-ce que par ce motif, il ne sera pas sans 

 utilité d'établir directement , pour une différentielle d'un ordre quel- 

 conque , l'interprétation dont elle est immédiatement susceptible. 



A cet effet nous remarquerons d'abord que si l'on désigne par a 

 une fonction particulière de a; et Ax, supposée telle que,. quelque 

 soit X, cette fonction décroisse indéfiniment, à mesure que Ax 

 converge vers zéro , il en résulte nécessairement 



r da 1 



Aa=Ax.[--~- -Hif I 



Ar -" 



da 

 le bmome H-^ constituant en général une fonction de même 



Ax 



II. 29 



