258 E. Lamarle. — Essai sur les principes 



nature que la fonction a , c'cst-à-dirc , indéfiniment décroissante 



à mesure que Ai; converge vers zéro. 



Pour démontrer cette proposition , considérons Ax comme cons- 

 tant et remplaçons x par x+àix ; a deviendra «j et nous aurons 



^i — ù£=Aia;! [-1? I 



'- AiX -* 



da. 

 étant indépendant de A;!, et :; indéfiniment décroissant à me- 



AiX 



sure que AiK est supposé de plus en plus petit. Or , quelque soit x,a 

 décroit indéfiniment avec Ax. Donc quelque soit A^x , le binôme 



-^ est indéûniment décroissant avec Aj;. Mais — — nedépend 



AiX Aix 



pas de AiJ!, tandis que ij , s'il n'est pas toujours nul, en dépend 

 nécessairement. Le binôme ne peut donc être indéfiniment décrois- 

 sant avec AX , qu'autant que chacun de ses deux termes jouit res- 

 pectivement de cette propriété. 



Cela posé, si l'on observe que tj décroit sans cesse avec AiX , 



dct 

 tandis que en est indépendant , il est manifeste que l'hypo- 

 thèse Aia;=Aa; n'altère en rien la propriété que possèdent ;? et 



AiX 



de décroître indéfiniment à mesure que Ax converge vers zéro. De 

 là résulte 



\-^\ 



Ax ' 



le binôme [-;? étant en général une fonction de même nature 



Ax 



que la fonction a. 

 Soit maintenant 



Ay=Ax\f'{x)^a,] 



L'accroissement Ax étant quelconque, mais constant, l'on aura 

 pour la différence du second ordre 



ou plus simplement 



A'y = Ax\f"[x)+a,] 



