260 E. Lamable. — Essai sur les principes 



18} Les considérations qui nous ont guidé dans la détermination 

 du sens h attacher au symbole d'y montrent suffisamment que les 

 dilTérentielles des ordres supérieurs ne peuvent correspondre en 

 général qu'à laccroisscmcnt, supposé constant, de la variable indé- 

 pendante. Lorsqu'on opère en même temps sur plusieurs fonctions 

 d'une même variable , il est permis de prendre pour accroissement 

 de cette variable une valeur quelconque , toujours constante ; mais 

 dès lors , à moins que les fonctions dont il s'agit ne soient linéaires, 

 leurs accroissements différentiels dépendent à la fois de la variable 

 et de son accroissement. Si donc cet accroissement est supposé cons- 

 tant , chaque différentielle devient fonction de la variable indépen- 

 dante, et nulle ne peut être considérée comme constante , lorsque 

 les autres varient conlinuement. Il suit de là que les différentielles 

 des ordres supérieurs se rapportent nécessairement à la variable 

 indépendante. Toutefois , s'il s'agissait d'une fonction qui fût liée à 

 cette variable par une équation linéaire , la différentielle de cette 

 fonction devenant constante en même temps que l'accroissement de 

 la variable, il est clair qu'on pourrait substituer l'une à l'autre 

 dans les différenciations successives. 



Pour éclaircir ce point et fixer les idées , prenons l'équation 

 différentielle 



dy=f'[x]dx 



et supposons d'abord que la variable indépendante ne soit pas expri- 

 mée. Si l'accroissement attribué à la variable indépendante est 

 constant , quoiqu'il soit d'ailleurs , les différentielles deviennent 

 des fonctions de cette variable. On a donc en différenciant une 

 seconde fois et opérant sur /"[x'j.dx comme sur le produit de deux 

 facteurs 



d'y^f"{x)dx' + f'{x)d'x 



on aurait de même [dy ,d''y ,dx , d'x , étant toujours fonction de 

 la variable indépendante). 



d'y=f"'{x)dx'+3f"(x)Jx.d'x.+f'{x)d'x. 

 et ainsi de suite. Il est d'ailleurs évident que si l'on représente par 



!/=r(-) 



les relations qui font dépendre a; et y de la variable indépendante 



