fondamentaux de l'analyse transcendante. 263 



on trouverait de même 



et ainsi de suite. 



Extension des règles 'précédentes aux fonctions implicites 

 et aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. 



20) Soit z une fonction quelconque de deux variables x et y. 

 L'on a pour expressions symboliques des dérivées successives , 



1° Dans l'hypothèse de y constant — ~ , ■ , etc. 



Ax àx' 



J_ 32 ^ 



2° Dans l'hypothèse de a constant — — , — — , etc. 



&y Ay' 



Opère-t-on maintenant sur chacune de ces dérivées comme sur 



la fonction primitive , on est naturellement conduit à adopter pour 



expressions symboliques des opérations effectuées — —, ^,etc. 



le nombre des dérivations étant toujours marqués par l'indice supé- 

 rieur et leur ordre successif, ainsi que les variables auxquelles 

 elles se rapportent , par les signes inférieurs. 



Ces conventions admises , il convient d'abord de rechercher si , 

 toutes choses égales d'ailleurs , l'ordre , dans lequel les dérivations 

 se font successivement , influe ou non sur le résultat définitif. 



Posons à cet effet 



z=F{x,y] 



et traitant y comme une constante , prenons la différence par " 

 rapport à x ; nous aurons ea ce cas 



nx+Ax,y)-F{x,y)=Ax[Jl. .+ J 



Ax -" 



a étant en général ou nul, ou indéfiniment décroissant avec A.r, 

 quels que soient d'ailleurs x ely. 

 Remplaçons , dans a, y par y+Ay , il viendra 



da 

 Ay 



Or quelque soit Ay, &a est, par hypothèse, indéfiniment décrois- 



Aa=Ay[~-+^] 



