264 E. Lamaiilk. — Essai sur les principes 



da 

 sant avec ax , il en est donc de même du binôme +*;■ Il suit 



de là que si l'on prend la différence de la fonction [F(ii; + Ax,»/) 

 — ¥{x,y)] , par rapport à y et en considérant x comme constant , 

 il vient 



T{x+Ax,y+Ay)—Y{x,y + Ay)—Y{x ]-Ax,y) + T(x,y)=Ay.Ax.-j~ 



, dix , -1 r d z 1 



+«H +f J =Ay.Ax[-—— +0\ 



Ay J -z L ^J.^y J 



l'ensemble des termes représentés par , étant ou nul ou indéfini- 

 ment décroissant à mesure que les accroissements ax , Ay , con- 

 vergent tous deux vers zéro. 



Observons ici que le premier membre de la dernière équation 

 resterait évidemment le même , si , intervertissant l'ordre des opé- 

 rations, l'on supposait la première différence prise par rapport à 

 y, et la deuxième par rapport à x. Mais en ce cas, le second mem- 

 bre deviendrait 



Au.iajF 1 L$'\ 



" •- Ay.Ax -* 



le terme 6i étant , comme le terme , ou nul , ou indéfiniment dé- 

 croissant lorsque Ax et Ay sont supposés de plus en plus petits. 

 L'on a donc 



d'z d'z 



Ayàx AxAy 



ta ^ j2 



et puisque les dérivées — , ^^ sont indépendantes des ac- 



AyAX AXAy 



croissements AyAX , tandis que la différence e — 6' est ou nulle, ou 

 susceptible de décroître indéfiniment à mesure que ces accroisse- 

 ments convergent vers zéro , il en résulte nécessairement e=e' et 



d'z d'z 



AyAX AxAy 



La condition exprimée par cette équation s'étend d'elle-même à 

 des cas de plus en plus compliqués. En effet l'on a d'abord 



d'z d'z d'z 



AX Ay AxAyAjo AyA 



