fondamentaux de l'analyse Iranscendanle. 235 



on aurait de même pour le cas de trois variables 



d'z d'z _ d'z _ d'z _ d'z d'z 



Ax.Ay.Au AxAuAy AUAXAy AuA'jAx AyAuA.v AyArAu 



et ainsi de suite de proche en proche. 



Donc , en principe général : Quelque soit l'ordre dans lequel on 

 effectue plusieurs dérivations successives , si l'ordre seul change et 

 que toutes choses soient égales d'ailleurs , le résultat définitif reste 

 toujours le même. 



21] Etant donné l'équation 



s=f[^>y,v,u, etc.) 



dans laquelle les variables sont en nombre quelconque , il pourra 

 se présenter deux cas , suivant que cette équation subsistera seule ou 

 avec un certain nombre d'autres. Dans tous les cas, lors même qu'il 

 y aurait autant d'équations que de variables moins une , nous intro- 

 duirons par la pensée une nouvelle variable , qui sera pour nous la 

 variable indépendante , et aGn que toutes les autres en deviennent 

 fonction , nous concevrons au besoin une ou plusieurs relations 

 arbitraires que nous n'exprimerons pas, aussi longtemps que nous 

 le jugerons convenable , et dont pourtant il nous sera toujours per- 

 mis de disposer. Ce simple artifice nous sera d'un grand secours. 

 Soit d'abord 



z=F{x,y) 



Si nous différencions une première fois [y el x étant supposés 

 fonctions de la variable indépendante non exprimée) , nous aurons 



(fz= — — .dx-\ dii 



AX ' Ay "^ 



puis , différenciant de nouveau et observant que les dérivées par- 

 tielles , — — dépendent en général des fonctions a; , et V, tandis 



AX Ay '■ ° 



que les différentielles dx, dy soat simplement fonction de la variable 

 indépendante 



d'z^ ^dx'+2 — dx.dy.-l-- — ^ difA —d''x-[--^d'y. 



AX AxAy ^ Ay- AX A!/ 



En continuant de la même manière , on obtiendrait successive- 

 ment les différentielles de tous les ordres. Il nous suffira d'avoir 

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