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APPLICATIONS ANALYTIQUES. 



Théorèmes fondamentaux concernant la fonction, son accroissement et ses 

 dérivées successives. 



24) Lemme. La fonction est croissante ou décroissante , {') sui- 

 vant que la dérivée est positive ou négative. 



Lorsque nous avons établi la relation générale 



nous avons vu que, pour toute valeur finie de la dérivée /''(a;) , la 

 quantité j? est indéfiniment décroissante à mesure que Ax converge 

 yers zéro. Il suit de là qu'il suffit de diminuer convenablement l'in- 

 tervalle Ax pour qu'en général f'{x) devienne supérieur à ^ et donne 

 son signe à la différence Aij. Or, si la fonction est croissante à partir 

 de la valeur y, il existe nécessairement un certain intervalle, (si 

 petit d'ailleurs qu'on voudra ) , dans l'étendue duquel la différence 

 Ay est toujours positive. Il faut donc aussi que dans cet intervalle 

 l'on ait constamment f{x)'^0. On démontrerait de même que la 

 fonction ne peut être décroissante sans que l'on ait en même temps 

 f'[x] <0, et cela pour toute l'étendue de l'intervalle où il y a dé- 

 croissance. 



Concluons que le signe de la dérivée indique en général la marche 

 de la fonction , la fonction étant croissante lorsque la dérivée reste 

 positive , cl décroissante lorsque la dérivée devient négative. 



25) Corollaire. Tant que l'on a /''(a;)>ou<^0, la marche de la 

 fonction est uniforme , c'est-à-dire qu'arrivée en croissant ou en 

 décroissant à l'état dans lequel on la considère , la fonction sort de 

 cet état en continuant de croître ou de décroître. Lorsque f'[x)=0 > 

 il y a doute et la fonction tend à rester stationnaire. Cette tendance 

 est acusée par l'expression particulière qu'affecte la loi de généra- 

 tion dy =f'(x)dx=0 , mais elle ne peut persister , la loi dont il s'agit 

 n'étant pas permanente. On sait d'ailleurs que la fonction reste 



(l) La fonction est dite croi.s.sante , lorsqu'elle ciûii et tlccioil avec la variable. 

 Elle est dite décroissante dans le cas contraire. 



