270 E. Lajiaule. — E.'.sai sur les principes 



variable avec x : elle croit donc ou décroît constamment dans un 

 certain intervalle, mesuré à partir de Ax='i), et suivant qu'elle v-l 

 croissante ou décroissante dans cet intervalle, sa dérivée , nulle à 

 l'origine, commence par être positive ou négative. 



Partant de zéro, par bypotbèse, la dérivée ne peut commencer 

 par être positive ou négative , qu'autant qu'elle est croissante ou 

 décroissante. D'un autre côté elle est croissante ou décroissante sui- 

 vant le signe affecté par ia dérivée seconde f"{x). C'est donc à celle- 

 ci qu'il faut recourir pour reconnaître la marche de la fonction. 



Soit f"{x)yO. En ce cas la dérivée f'[x) a une marche uniforme , 

 et parvenue à zéro en croissant avec x , c'est en continuant de 

 croître qu'elle s'en écarte. Elle est donc négative, puis nulle, puis 

 positive en même temps que Ax. Il suit de là que ta différence a»/ 

 commence par être positive en deçà comme au-delà de Aa;=0. Ce 

 n'est donc qu'en croissant que la valeur actuelle y peut d'abord 

 changer. Par ce motif on la nomme valeur tninima. 



On verrait de même que pour f"{x) <0 , la dérivée f'[x) étant de 

 signe contraire à ax, la différence Ai/ commence par être négative 

 en deçà comme au-delà de ax=0. Ce n'est donc qu'en décroissant 

 que la valeur y peut d'abord changer. Par suite on la nomme 

 valeur maxima. 



Soit enfin f"{x) = 0. En ce cas raisonnons sur f (a;) comme nous 

 l'avons fait sur y et appliquons les résultats précédents. 



A-t-on/'"'(a;)>0 , f\x) = est une valeur minima. Ay change 

 de signe avec Ax et la fonction est croissante. 



A-t-on f"'{x)<.0 , f'[x)=0 est une valeur maxima et la fonction 

 est décroissante. 



Soit en dernier lieu f"'{x)=0. Ce que nous venons d'établir pour 

 f{x) , subsiste maintenant pour f'[x] et cette dérivée est crois- 

 sante ou décroissante suivant que /"'^(x) est plus grand ou plus petit 

 que zéro. Nous voici dès lors ramené à considérer le signe de 

 f'{x) comme dépendant de f"(x), de la même manière qu'il dépen- 

 dait primitivement de f"[x). Les mêmes circonstances se repro- 

 duisent donc périodiquement, et il est visible que la marche de la 

 fonction est toujours indiquée par Je signe et le rang de la pre- 

 mière des dérivées successives qui ne s'évanouit point. 



Cette dérivée est-elle de rang impair , suivant qu'elle est positive 

 ou négative, la fonction est croissante ou décroissante- 



Esl-elle de rang pair , la valeur actuelle y est une valeur mi- 

 nima ou une valeur maxima suivant que la dérivée dont il s'agit 

 est positive ou négative. 



