2/2 E. Larmarlk. — Essai sur les principes 



croissante. En ce cas les diverses valeurs , qu'affecte f'{x] , sont toutes 

 deniÉraesiffne. Imaginons ensuite que la fonction soilallernativeinent 

 croissante et décroissante. En ce cas f'[x] ne peut changer de signe 

 qu'en passant par zéro. Donc, dans tous les cas , (la continuité 

 subsistant) la moyenne représentée par le terme 



r^.)+r(^+^)+e.c.+r(^^^^) 



m 

 est une quantité intermédiaire entre les valeurs extrêmes que prend 

 f'{x) et par conséquent elle se réduit à une espressioa de la forme 

 f'{x-\-CAx) , 6 dépendant de m , mais étant toujours plus petit que 

 l'unité. 



D'un autre côté m est arbitraire et l'on en peut disposer de ma- 

 nière à rendre aussi petite que l'on veut l'une quelconque des valeurs 

 affectées par i? dans l'intervalle Ax. Delà résulte 



ày=[f'[x-\-6Ax)-\-/.]àx 



1 étant une quantité qui se rapproche indéfiniment de zéro à mesure 

 que m est supposé de plus en plus grand. 



Soit maintenant /"'(aî+fl.Aa;) la moyenne rigoureuse de la suite 

 infinie des valeurs que f'[x) prend dans l'intervalle Ar , l'on a 

 évidemment 



f'{x+o,tiX)—f'{x+o^x)=-u 



■/, converseant vers zéro en même temps que ■/. Substituant l'on 

 trouve , 



hy—{'[x-\-B^Ax)Ai:^àx[i — 7,] 



Or le premier membre de cette équation est indépendant de m , 

 tandis que le second , s'il n'était pas nul , pourrait être rendu aussi 

 petit que l'on veut en attribuant à m des valeurs de plus en plus 

 grandes. Chacun de ces deux membres est donc nul de lui-même , 

 et l'on a généralement 



A]| = f'{v-\-i,^x)^àx 



6, ne dépendant pas de m, mais restant toujours compris entre 

 Oeil. 



Le théorème que nous venons de démontrer peut s'énoncer de 

 la manière suivante : 



L'accroissement de la (onction est égal au produit de l'accrois- 

 sèment de la variable par la valeur moyenne de la dérivée. 



