fondamentaux de l'analyse transcendante. 27;î 



27) 11 seinblo au premier :iljord que la valeur moyenne de la 

 dérivée ne soit susceptible d'expression numérique que dans l'hypo- 

 thèse où nous nous sommes placés, c'esl-à-ilire lorsqui' la dérivée 

 ne fait que croître ou décroître entre des limites déterminées. Il 

 n'en est point ainsi, et cette moyenne est toujours numériquement 

 assignable , lorsque la fonction reste finie dans l'intervalle Ax. 



Pour démontrer ce corollaire, supposons d'abord une suite d'in- 

 tervalles pour lesquels on ait respectivement , 



Ay,-=C,Ax,, Ay,=CjAî;, , Ay ^=c,Ax, , elc. 



Considérons en particulier l'une quelconque des moyennes expri- 

 mées par c, , Cj, etc. Les valeurs, en nombre infini, qui concourent 

 à la formation de celte moyenne sont généralement inégales. Néan- 

 moins l'on peut leur substituer d'autres valeurs toutes égales 

 entr'elles et à la moyenne dont il s'agit. Veut-on en outre rapporter 

 les moyennes c, ,c^ , etc. , à un môme intervalle Ar=Ax, + Ax, -j- 



11 j • . ^^, Ar, 



etc. , elles deviennent respectivement c, — ,c. — , etc. et 



'^ ' Aï " Aa; 



fournissent une moyenne générale exprimée par la somme 

 Ax, Ax^ 



Ax Ax 



.+ etc. =M. 



On a donc 



Ai/, + Ai/,+elc.=A!/=MAx. 



M restant compris entre la plus petite et la plus grande valeur 

 des moyennes partielles c, , c^ , etc. 



Supposons maintenant que dans l'intervalle Ax , la dérivée se 



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présente, tant de fois qu'on voudra, sous la forme symbolique , 



laquelle ne peut qu'être accidentelle et non permanente. Soit d'ail- 

 leurs , x,,x^,Xj , etc. les valeurs particulières de x qui rendent 

 la dérivée f\x) infinie , et Ar, , Ax, , Ax, , elc. une suite de très 

 petits intervalles, comptés, moitié en deçà , moitié au-delà , des 

 valeurs x, , x^, x, qui leur correspondent respectivement. L'on 

 aura d'après ce qui précède 



Ay=M [ax - Ax, AX^ AXj —Ole ] + Ay, + A)/ , -f A!/, +e(f . 



Or à mesure que chacun des intervalles Aj;, , Aa;, , etc. est pris 

 de plus en plus petit, chacune des liifPérences Ay^ , Ay, , elc dé- 

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