274 E. Lamari.e. — Essai sur les principes 



croît indéfinimenl et coiiv('ri;c vers zéro. Donc la moyeniifi M con- 

 verge vers une limite déterminée et l'on a toujours 



Ail 



Lim.M = — ^ 



Ax 



Lorsque les valeurs de la dérivée sont toutes de même signe , la 

 quantité représentée par Lim. M est une expression de la forme 

 l'(x+0,Ax). Dans le cas contraire la même condition peut encore 

 être remplie, mais elle ne subsiste pas nécessairement. 



28] Corollaire I. Lorsque pour une valeur particulière atlrihuée 

 à la variable , la /onction, jusques là continue, représente sous la 



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forme symbolique —— , il en est de même de la dérivée- 



Nommons x^ la valeur particulière dont il s'agit , et x, une autre 

 valeur aussi rapprochée qu'on voudra de x.^ , mais telle que de x, à 

 a-3 la fonction soit toujours croissante en grandeur absolue. Soit en 

 outre a-, une valeur intermédiaire. En admettant que pour x=x^ 



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la dérivée f'(x) prit accidentellement la forme— p— , il est visible 



que cette forme ne pourrait persister. Il est donc permis de poser 

 immédiatement /"'(a; J = B , la valeur B étant numériquement assi- 

 gnable. Or, si grand que soit B , je dis que f'(x) doit augmenter 

 encore de x^ à a;^. Pour le démontrer , prenons à partir de x^ l'in- 

 lervalle Ax^ plus petit ([uex^ — x^. Nous aurons pour accroissement 

 correspondant de la fonction 



Suppose-t-on maintenant que f'{x) n'augmente pas de x, à x, , 

 la valeur moyenne f\x^-]-CAx^) est inférieure à B et il vient , 



ay2<BAa;, 



d où à fortiori 



Mais quelque soit B , si grand qu'on le suppose , cette dernière 

 inégalité est toujours impossible , puisque par hypothèse Ay, croît 

 indéfiniment à mesure que AXj converge vers la limite x^ — x^. Ou 

 ne peut donc admettre que la dérivée f'{x), lors même qu'elle 

 décroîtrait à partir dex^, ne prenne pas ensuite de x^ à x^ des 

 valeurs toujours de plus en plus grandes et cela , sans limite assi- 



