fondamentaux de l'analyse transcendante. 275 



gnable. Il faut donc nécessairemenl que fi^^) alTocte la forme sym- 

 bolique — —. 



Il suit de là que , si pour une valeur particulière , attribuée à la 

 variable , la fonction , jusque là continue se présente sous la forme 



—z— , il en est de même de toutes ses dérivées successives. 



Réciproquement toute valeur de la variable qui ne rend pas infinie 

 la dérivée de l'ordre n ne rend infinie , ni la fonction , ni aucune 

 des dérivées précédentes. 



Ou ne perdra pas de vue qu'une expression de la forme ne 



peut jamais constituer ce que nous appelons une râleur particulière. 

 29) Corollaire 2. La fonction étant continue dans l'intervalle Ax, 

 l'on a 



^y=f'{x+0,^x).&x (I) 



1 



et la dérivée f°{x) ne se présente pas en général sous la forme — . 



Cela posé , quelles que soient les valeurs particulières affectées 

 par les n premières dérivées, l'on peut toujours concevoir l'inter- 

 valle àx assez petit, pour que dans cet intervalle, les dérivées dont 

 il s'agit restent continues. Or en ce cas l'équation (1) est applicable 

 à ces dérivées , et il vient 



f'[x+e,iix)=f'(x)+f"{x+e,e^Ax).B,&x 

 f"{x+sj,i,x]=f"(x]+f"'{x+e,e^e,Ax].9,0,j,x 



/■°-'(x+e,8,...9„_,Aj;) = /-''-'(x)+/-°(x+e.e^...e„Arj.e.9,..e,.,Aa;. 

 Ou a donc en substituant 



Ay=f'(x)i^x+e,Ax'f"[x}+6]e^^x'f'•'{x)+elc.+ 



cl si l'on suppose que , pour la valeur particulière attribuée à la 

 variable, les n—i premières dérivées s'annulent toutes à la fois 



Ay=C' C -«'•-, ^x^t '{x+e,e,j,...$„Ax)- (2) 



Les quanlilés S, ,6^ , elc 5,,, dépendent en général de x et de 



