270 E. Laimarle. — Essai sur Us /irincipcs 



Ax : (\) néanmoins chacune d'elle reste toujours positive et moindre 

 que l'unité. Quant à l'inlervalle A,r , il est aussi petit que l'on veut 

 et dès lors on peut admettre que dans cet intervalle f\x) cl 

 /"°(a;-)-C,0j...6„A,r) sont constamniciit de même signe. Il suit de là 

 que les premiers cliangemenls suhis (lur la fonction et exprimés 

 par la dill'érence Atj sont des accroisseuK'nts ou des décroissoments 

 suivant le rang ou le signe de la première des dérivées successives 

 qui ne s'évanouit point. Delà résultent immédiatement les consé- 

 quences étal)lies ci-dessus N" 25 : 



(l) Lorsque la dérivée (le l'ordre n est constante roo jieut poser On=0. Sauf ce 

 cas exceptionnel , les quanlilt's 0, , Oj.etc. sont toutes issenliellenltnt variables et 

 leur expression dépend de la nature de la fonction sur laquelle on opère. Toutefois 

 il est à observer que ces quantités convergent vers certaines limites à mesure que 

 Aj converge vers zéro. Proposons-uous de déterraiuer quelles i^ont ces limites. 



Soit f(^a-\-6^s-) la moyenne des valeurs aifectées par f'[x) dans l'intervalle Aj, 

 divisé par Iiypollièse en m parties égales. Les valeurs, eu nombre limité qui con- 



courent à la formation de cette moyenne sont respectivement /"(«), /^(a+ / 



/ 24r , , f)K— l)Al , , , ,■ - 



fi a-\ ) ctr. / ('(+• 1. Nous supposeious , pour plus de généralité, 



J \ m ' V 7/1 ' 



que la valeur j^u annule les {n — I) premières dérivées et nous aurons suivant 



la formule du K» 29 



/•(o+Aj-;— /"(a) = e°-'9;- >. 0„-jfl„-, Aj Yn(„40,«,..^„Aj:) 

 ou plus simplement 



/ (a + Ai;— /"(ii)=A,t».iz /"(u+SAj;). 

 a et 6 restant compris entre et 1 et ne dépendant plus que de Ax. De là résulte, 



/('■+ ^) -/':")=(— ) "■/■■("+^.^r) 



J'uii , aionlaiit nu-iiihic a iiifiiilii c it liivi.-aiit par m, 



-[/(u)+/ (»+--)+ -. +t{"+-~ )]-/!")= 



A;n r '^■'' \ / -^■' \ i 



— T-l «. /" "+"=, )+2°«./ " (^+ê, ) + .Ir. 



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