278 E. Lamarle. — Essin sur les principes 



3° Esl-elle au contraire de ranij pair , la valeur de la fonction 

 est minima ou maxima, suivant que la dérivée dont il s'aijil est 

 positive ou néi/ative. 



Eu résumé s'il s'agît des moyennes rigoureuses rejtondaut à l'iutervalle x — a et 

 expiinjéc-s par f[u + Oo^x)[ les dérivées successives / '(a) f"{a.\ etc. étant supposées 

 nulles jusqu'à celle de l'ordre n exclusivement ] l'on a pour le cas particulier 



ou/'(i)=(ï— a)" 



" n+1 

 et en général 



1 



Lim 6°= — —- 

 n+1 



Comme conséquence du principe que nous venons d'établir , nous remarque- 

 ions relativement à la fonction /''(j^) que ses (n — 2) premières dérivées s'annu- 

 lent dans riiypolhè.se x=«. il vient donc 



tim, 0°-'= 



71 



Ou trouverait de inême lelativemcnt aux (onctions /""(j) , /'"(j-) etc. /"""'(i) 



1 



Lim.e°- = = — 



71 \ 



1 

 lim. e;-' 



n— 1 



1 



Lim. 9,, , = —--- 



et par suite 



o^■o^^..o. ,=^^5- ;^.+<. 



cj convergeant vi:r.s zéio tn même temps que Aj.-. 



On observera que lorsque la dérivée tlu second ordre ne sMvaiiouit pas , si petite 

 que soit d'ailleurs la valeur qu'elle affecte ^ 6, n pour limite constante la trac- 

 tion i- Soil au contiaire / "(a)— 0. Eu ce cas la limite de 0, devient (~;^)^»(~T")'' 



ou plus gêné raie tut- ut (■ j" , n étant Tordre de la première des dérivées suc- 

 cessives qui ne s^évanouit point. Cttlc permanence et ce chaugement brusqua des 

 diverses limites assignées à 6, , suivant le nombre des dérivées successives qui 

 s'annulent pour une même valeur attribuée à la variable, présentent un résultat 

 dont il est facile de se rendre compte , mais qui n'en est pas moins extrêmement 

 curieux. 



Nous verron.< plus loin comment la .-simple considération de U loi de générât, ou 

 conduit tlircctemeni ;iux mêmes conséquences. 



