fondamentaux de l'analyse transcendante. 279 



30) Nous avons supposé jusqu'ici que les dérivées successives 

 restaient en général fonction de la variable. Il importe d'examiner 

 en particulier le cas où la dérivée de Tordre n est constante, indé- 

 pendamment de toute valeur attribuée à x. 

 Soit par exemple 



f\x)=consK (I) 



Les dérivées des ordres supérieurs à n sont toutes nulles. Quant à 

 celles des ordres inférieurs , quelle que soit la valeur particulière 

 attribuée à la variable, elles ne peuvent jamais se présenter sous 



la forme —z~ (voir N° 28). Cela posé , si l'on remarque que , pour 



x — a, les dérivées de la fonction {x — o)' sont toutes nulles à Tex- 

 ceplion de celle de l'ordre r qui se réduit à 1.2.3...r. , il est évi- 

 dent qu'il suffit d'écrire 



0[x) = [x-a)f'{a)-i-.^~^ f"(a]+clc.+ ^^~°^° r{a). 



pour que l'on ait en général (p'[a) = f'{a) et que par conséquent les 

 dérivées successivées de la fonction y=f(x) — 0(a;) s'annulent toutes 

 sa7is exception , dans l'hypotbùse x=a. Mais alors l'équation géné- 

 rale du N° 29 



Ay=-F'{x)Ax-i-eJ'\x)àx'+ etc. 



se réduit à Ay=0, il vient donc en faisanta:=a, F(a;) =/■(«) — cp(x), 

 et remplaç.int Axpar [x — a). 



Ay=^f{^)-f[a]—Cp{x)={). 



d'où substituant 



f(x)=f(a)+f'(a){x-a)+f"(a) i^l|l! + etc. +/•"(«) ^°. (2). 



Il suit de là que les relations (I) et (2) s'impliquent muluelllc- 

 ment, les fonctions algébriques, rationnelles et entières , étant les 

 seules qui puissent se réduire à des constantes par une suite de 

 dérivations. 



31) En général il est impossible que toutes les dérivées d'une 

 fonction s'annulent à îa fois pour une même valeur particulière 

 attribuée à la variable. Cela résulte de la démonstration précédente. 

 On peut d'ailleurs le voir directement. En effet , y étant par bypo- 

 thèse fonction continue de x, l'on peut avoir accidentellement 



