fondamentaux de l'analyse transcendante. 281 



indéfiniment. Dès lors il en est de même de f"{x), puis de f'"{x) 

 et ainsi de suite à l'ioCiii. 



En ce cas la loi de génération tend à devenir permanente a me- 

 sure que les valeurs affectées par la variable sont supposées de plus 

 en plus grandes. Quant à la fonction 0[z), on remarquera que ce 

 ne sont point ses dérivées successives qui s'annulent loules pour 

 z=0 ( ce que nous avons démontré impossible ) , mais bien les pro- 

 duits z^'iz) , z'(^"(z) , etc. 



32) Corollaire 3. Soit deux fonctions J/=/'(r) , u=(p{x), supposées 

 telles que l'on ait : 



r Pour x=a et en ce qui concerne les (re— 1) premières dérivées 

 f'(a)=0'{a), r'(a)=c/5"W, etc. /--•(a) = 0-'(a). 



2° Pour une même valeur quelconque x comprise entre a et a-\-/i 



r-'[x]><p'-'{x). 



Je dis que pour toute valeur de Ax comprise entre et A , l'on 

 a nécessairement 



En effet, si l'on applique à la fonction y—U'=f(x) — ô^^) la for- 

 mule 2 du N° 29 , en observant que pour x=a les (n — 2) premières 

 dérivées s'annulent, il vient 



Or de la résulte évidemment ai/'>Ak. C. Q. F. D. 

 Remarque. En vertu de la relation f°-'[a)=Ç'"\a) , il est indif- 

 férent de poser 



/'-•[x)>(p'-'[x) 

 ou bien 



[Af°-'[x)=f'{a+6Ax)-Ax]'::>[ACp''-\x) = Cp''(a+e'Ax).Ax] 

 Il sulTit donc que l'on ait : 

 J° En ce qui concerne les (n—l) premières dérivées 



Aa)=(?'(a), f"{a)=<p'\a), etc. f—(a)=(p-'-\a) 



2» En ce qui concerne les valeurs moyennes des dérivées de 

 l'ordre n 



f\a+ eA j)> ou <$"(a+ e'Ax) 



n. 32 



