282 E. Lauarlu. — Essai sur les princi[ies 



pour qu'il eu rL'sulto iiccessairement 



Ai/^ ou <^Au. 



33) Soil f{x) une fonction continue supposée telle que dans i'in- 

 terv<ille compris entre x^a et x=a-\-h la dérivée /"""'(a;) reste 

 toujours finie. Si l'on désigne par M et m la plus grande cl la plus 



petite des valeurs que la moyenne /'°(o+eAa;)=-î — ^ — 



affecte dans l'intervalle h, et par 0{x], i//(a:) les deux fonctions algé- 

 briques 



(î)(x) = (x-a)r(a) + -^^=|^r(a)+ etc.+î^|=^.r-'(a) 



1.2 n 



^x) = [x-a)r[a) + ±j-^ f"[a]+ Ctc+ ^j^ (1-1) ^°''^"^ 



, {x—a)" 



1.2....n 



On aura d'abord pour l'une quelconque des (n — I) premières 

 dérivées , celle de l'ordre p par exemple 



et ensuite 



àf-'ir)"^ [Ai^"-' (x) = mAx] 

 A/'°-'(a;)<[A(î)°-' (x)=MAa;] 



Or de là résulte conformément au principe établi N". 32 

 A/'(x)>A4,(a;) 

 A/'(.r)<A<î)(a-) 



c'est-à-dire 



/■(^)> A«)+ (^-«)r(«)+ -^^=^r'(«)+ etc. 



(x—a)»-' ^„ , {x—a)' 



fixXf{a)^{x-a)f\a)+ Jf=|L/-"(„)+ etc. 

 ^1 2.. (i-1) ' ^ '^ 1.2....H 



