fondamentaux de l'analyse transcendante. 283 



Si donc OD cx|iiirac par /"(a-]- o(x— o)) uno certaine valeur 

 comprise entre m et M, il vient nécessairement 



f{x) = {{a) + {x-a}f\a)-\- ^^~°^ ^ '(«) + etc. 



On observera 



1° Que û est une fraction 



2° Que l'expression f''[a-\-i(p — a)) a une valeur intermédiaire 

 entre M et »i, limites nécessairement plus resserrées que celles qui 

 répondent à la plus grande et à la plus petite des valeurs affectées 

 par f'[x) dans l'intervalle x — a. 



3° Que les limites M et m sont toujours numériquement assi- 

 gnables , sauf le cas exceptionnel où la dérivée f°[x) deviendrait 

 infinie pour la valeur particulière x=a. 



34) Les hypothèses du N° 33 étant maintenues, supposons en 

 outre que les [n — 1) premières dérivées s'annulent pour x=a ; il 

 vient alors 



f[x)-aa)= /f~5^ - r(a+«{^-«)). 



Mais on a d'ailleurs en faisant x = a, puis remplaçant Ax par 

 x—a dans l'équation (2) du N" 29 



r[x]-f[a)=6\- \\-' ...e„^,.{x—a)'f\a+e,g,..M^-a)). 



il vient donc en divisant membre à membre et supprimant le fac- 

 teur commun {x—a)" 



6»-' ,"-' B 1 r{a+e[x-a]) 



' ■' ■■■--' 1.2...« /'"(a+e.9,...e„(^-a)) 



ou passant à la limite et faisant x=a 



1 



Lim. s;-' .e;-'...6„_,. 



1-2- 



On trouverait de même en appliquant ce qui précède à la déri- 

 vée f'(x) 



Lim. e; -'e;-'...e„.. =- —~- 



!■/••• n — 1 



