284 E. LAMAni.ii. — Lisat sitr les jirinctpcs 



De là résulte 



Lim.C' = — 

 n 



Liai. e,=( — )°"' 

 n ■ 



Ce résultat (i) est remarquable en ce qu'il assigne diverses lituites 

 à la quantité o, suivant le nombre des dérivées successives qui s'éva- 

 nouissent à partir de la dérivée du second ordre. 



35) Reprenons le développement du N° 33 



nx) = /-(a)+tx-a)/-'(a) + i^=|^ /■"(«)+ etc. 



et supposons que la valeur x = a rende infinie la dériv(^'e de l'ordre 

 n. En ce cas le développement ne peut être continué sans changer 

 de forme, et si Ton veut ajouter de nouveaux termes à ceux qu'il 

 contient , il est nécessaire de déterminer quelle est la loi de forma- 

 lion des termes suivants. Proposons-nous cette recLcrche en la res- 



(i) Veul-on parvenir directement à ce résultat, Ton remarque que » la valeur 

 s=a annulant par hypothèse les {n — \) premières dérivées, la diti'érence ày doit 

 être considérée comme dépendant : 



1" De la loi de génération de Tordre m, d"y=f°{a)Ax". 



2^^ Des modifications que cette loi subit dans l'intervalle àx=x — a. 



Cela posé, si l'on considère le rapport de raccroissemeut efTeclif Ay à l'accrois- 

 sement qui résulterait du développement de la loi , d^ij=f^[a)^x^ , supposée per- 

 manente , il est visible que ce rapport tend vers l'unité à mesure que Ar converge 



((j: — a)n 

 z=^— f^i^n est précisément telle que, ses (h — l) 

 1.2. ..« '' 



premières dérivées s'anuulaut dans Tliypoilièse x=a , l'accroiÀScmewl As est réyi 



par la loi constante âPz=f^{a}ù,£^\ Ou a donc nécessairement 



Lim.-^ = t 



d'iiù substituant et faisant i^a aprcs la suppression du facleui' (-r— o) 



