fondamentaux de l'analyse transcendante. 285 



(reignanl au cas où la dérivée /'"(a) ue devient infinie que par l'aa- 

 nuLlion d'un facteur algébrique susceptible détre mis en évidence. 

 Soit par exemple 



I "• ' (x-ay 

 r étant plus grand que zéro et F(a) ne se présentant point sous la 

 forme — — , 



L'on a 



^^ (a:— a)'-' 

 Af'-\x)^f''(a+6{x—a))-{x—a)=T{a-\-e{x-a)) ^; 



il vient donc aussi r<^l 



La fonction F{x)=(x~a)'f°{x) prenant une valeur finie pour 

 x=o , ses dérivées successives F"(a), F"\a) etc., ne se présentent 



pas en général sous la forme ~j—. L'on a donc d'après ce qui pré- 

 cède , 



F(a;)=F(a)+(x— a)F'(a)+ etc. + [^Z'' Ffia + eix—a)). 



ou désignant par M, et m, la plus grande et la plus pelite dos 

 valeurs affectées par la moyenne ¥f'[a+6[x—a)) dans l'intervalle 

 X — a=h, et remplaçant F(a;) par sa valeur (x — aYfi^x). 



/•°(a;-)>F(a)-Cx-arH-F'(a).(x-a)'-'+etc.+ \ ^ '_ »', 



{x—a)p—'- 

 1-2" P 



r[x] <Fla) ix-a]-'+r[a] ■ [x-ay -' + elc.+ 'f ^°'^ ' M,. 

 c'est-à-dire 



rf^"-.(.,)>4j£=l'Vw+^|Z^VF'(a)+elc. 



dr-'ix]<d[^"Fia]-^±=^'r(a)+.i.. ■ 



