fondamenlaux de Vanahjse transcendante. 2S7 



La fonction F(2-) peut être telle que l'une de ses dérivées , celle 

 de l'ordre j> par exemple, devienne infinie pour x=a. S'il en est 

 ainsi et que cela dépende encore de l'annulation d'un facteur algé- 

 brique [x — a)', la règle précédente est applicable an développement 



F(a;) =F(a)+(a;-a)F'(a)+etc. 



et ainsi de suite , la question se trouvant complètement résolue pour 

 le cas de l'hypothèse oii nous nous sommes placé. 



0[x) 

 36) Soit en dernier lieu , f(x)=— — , m étant positif, en- 

 tier ou fractionnaire et (p(a) ne se présentant point sous la forme 

 — — • On a généralement 



Cp{x)^(p(a)+{x-a)(p'(a)+elc. + -^^^^^'{a+6{x-a)) 



i.z.,,,n 



et l'on en déduit 



Recherches relatives aux expressions qui se présentent 

 directement ou indirectement sous ta forme --r-. 



37) Etant donné la relation générale 



Aij=f[x-{-Ax)—f[x]=f'{x-h6Ax).àx (1) 



l'on remarque que pour toute valeur particulière de x satisfaisant à 

 la condition /'(r)=0 , il vient 



f {x-\'Ax)=f'{x + 6Ax).Ax. 



Soit x=^a l'une de ces valeurs. Si nous la substituons dans 

 l'équation précédente et que nous posions ensuite Ax=x — a, nous 

 aurons quelque soit x , 



f{x)=f'{a + e{x—a)).{x—a} (2) 



L'équation (2) subsistant alors même que f'{a) se présenterait 



accidentellement sous la forme -7^-, l'on conclut de ce qui précède 



le théorème suivant : 



