288 E. Laiimadlb. — Essai sur les principes 



Toute fonction qui s'annule pour x=a est en général le pro- 



duitr de deux facteurs. L'un de ces facteurs est x — a , l'autre se 



réduit à f '(a), lorsqu'on se place dans l' hypothèse particulière où, la 



fonction s'annule. 



f [x] 

 38) S'agit-il mainlcnanl du rapport , supposé tel que, pour 



x=a , il se présente sous la forme — , ciiacun de ces deux termes 



s'annulant dans cette hypothèse. L'annulation simultanée des fonc- 

 tions f [x] , ¥{x) dépend , comme on vient de le voir, de la présence 

 du facteur commun x — a. Supprimons ce facteur et posons ensuite 

 x^a , nous aurons d'après ce qui précède , 



fi") _ fia) 

 F{a) h-\a) 



si les dérivées s'annulaient encore toutes deux, on aurait de même 



fia) _ fia) fia) 

 F(a) F'(a) r"(o) 



et ainsi de suite , jusqu'à ce que , l'une des deux dérivées cessant de 

 s'annuler , l'indétermination disparut. 



Veut-on d'ailleurs procéder directement, on sait .conformément 

 aux formules des N°" 33 cl 34, que, si la valeur particulière x = a 

 annule la fonction et ses [n — 1) premières dérivées , il vient immé- 

 diatement 



fa: — al" 



^^^)= 9 1 ■n"+^.(^-")) 



1./... n 



On a de même pour tout autre fonction remplissant les mômes 

 conditions 



F(x)=-i^=^ . F>+6,(x_fl,)) 



et par conséquent pour x = a 



/(«) fi") 



Y[a) F°(a) 



39) La proposition , que nous venons de démonirer , subsistant 

 quel que soit a , il y a lieu d'examiner ce qui arrive lorsque l'annu- 

 lation des fonctions que l'on considère répond, non plus à une 

 valeur particulière de la variable , mais bien à l'expression symbo- 

 lique X=: OO. 



