fondamentaux de l'analyse transcendante. 289 



En ce cas les fonctions convergent vers zéro à mesure que x 

 croit indéfiniment et il en est de même de toutes leurs dérivées 

 (voir N" 28). Il semble donc que, si la formule du N° 38 était seule 

 applicable, le symbole de l'indétermination ne pourrait jamais 

 disparaître. 



Posons a; = nous aurons f[x)=f\ ) = '?(') . 



z — a s — o 



F(x)=F( )=^'(z). et puisque par hypothèse ces fonctions 



convergent vers zéro en même temps que z converge vers o , il 

 viendra nécessairement <p[à)^d , i^(a)=0. De là résulte 



■^{a) ~ •>/-' (^ 

 et celte valeur exprime la limite vers laquelle converge le rapport 



-=; a mesure que x croit ladenniment. 



F(x) 



Si les dérivées successives 4''(a),0"(a), etc. , T''(a'> , i//"(a) , e(c. 

 s'évanouissent jusqu'à celles de l'ordre n exclusivement ( il a été 

 démonlré que toutes les dérivées d'une fonction ne peuvent jamais 

 s'annuler à la fois pour une même valeur particulière atttribuéc à 

 la variable), on aurait de même 



Remarque. Des relations f(x)—(p[z), T[x)—\p{z) l'on déduit géné- 

 ralement 



f'{x)dx=(p\z)dz 

 F'(x)fo='i/(z)iz. 



et divisant membre à membre 



V'[x) ■^•z) 



Il suit de là que , si deux fonctions convergent vers zéro à mesure 

 que la variable croit indéfiniment, le rapport de ces fonctions et 

 celui de leurs dérivées premières convergent en même temps vers 

 une viême limite déterminée. Mais chacune de ces dérivées, prise 

 isolément , converge alors vers zéro : le rapport des dérivées 

 secondes a donc même limite que celui des dérivées premières et 

 ainsi de suite à l'infini. 



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