290 E Lamarliî. — Essai sur les principes 



S'agit-il maintenant de la délerminalion de cette limite , nous 

 venons de voir qu'il est toujours permis de substituer le rapport des 

 dérivées d'un ordre quelconque à celui des fonctions primitives. 

 Or la dérivation a généralement pour effet la mise en évidence du 

 facteur qui s'annule haut et bas. On peut donc opérer directement 

 sur les fonctions données et il n'est pas besoin de recourir à l'arti- 

 fice de calcul indiqué ci-dessus. L'on a ainsi 



/(x=3d) ^ _ f'(.X=cc) 

 F(x=oo) ~~ ¥\x = »} 



l'hypolbèse a;==aD n'étant introduite dans l'expression générale du 



f °(x) 

 rapport qu'après la suppression du facteur qui en annule à 



la fois les deux termes. 



40) Le symbole ne constitue en réalité qu'une représen- 



tation indirecte de la forme -— . Néanmoins nous le considérerons 

 en particulier. 



Soit le rapport ~ supposé tel que pour a;=a il se présente 



b(x) 



sous la forme . Si nous faisons (fW= f,. »'/'M~ 



00 /W V[x) 



les fonctions (p{x) , ■4^[x) s'annulent toutes deux pour x^a et il 



vient , 



d'oiî 



J-(x) __ ^x) _ ■Jj'[a+6{x—a)) 

 ¥{x) " Cp[x) Cp'[a+6'[x-a}) > ' 



fia) ^'(g) 



F(a) Ç'(o) 



et si plusieurs des dérivées successives <p'{a), 0"(a),etc. •/^(o) , 

 ■+"(a), etc., s'annulent, celles de l'ordre w étant les premières qui 

 ne s'évanouissent pas toutes deux à la fois 



f{a) _ ^\a) 

 F(«) <P\a) ' 



1 I 



Observons que les relations (p{x)^- , •4.(1)=-— —donnent, 



