292 E. Lamaulb. — Essai sur les prmctpes 



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Nous avons supposé que la forme , affectée par le rapport 



• , répondait h une valeur particulière x= a. Si l'hypothèse 



faite sur la variahle était exprimée symboliquement par x=» , 

 (lu forme du rapport restant d'ailleurs la même) deux cas pour- 

 raient se présenter. Ou bien les dérivées successives f'[x],f"(x), 

 etc. ¥'[x) , F"(x) , etc. seraient toutes indéfiniment croissantes avec 

 X et en ce cas tout ce qui précède resterait applicable. Ou bien elles 



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 n'affecteraient pas toutes la forme -— ■ pour a;=oo , et en ce cas il 



faudrait s'arrêter à la première des dérivées qui prendrait une 

 valeur finie. 



41) Soit encore le produit f{x]¥(x). 



Si dans une hypothèse particulière ce produit prend la forme 

 Ox ce , I "on remarque qu'on peut écrire en général 



f(x)F(x)=— — =— p- 



m m- 







Tout revient donc h considérer une expression de la forme— tt- 



ou et l'on est ramené à l'un des cas traités précédemment. 



Soit enfin l'exponentielle /"(x)^'-'' supposée telle que pour x=a 

 elle se présente sous l'une des formes 0°, oc",! =" il vient généra- 

 lement 



/•(x)=e'<'S-^(')- 

 et par conséquent 



/•(x)F(-') = eF'>08-/'(^) 



La question se réduit donc à déterminer vers quelle limite con- 

 verge le produit F{x)\og.f(x) dans l'hypothèse où l'on s'est placé. 



