fondamentaux de l'analyse transcendante. 203 



Développement des fonctions en séries ordonnées suivant les 

 puissances entières de l'accroissement de la variable. 



APPLICATION AUX FONCTIONS ÉLÉDENTAIRES. 



42) Étant donné la formule du N" 33. 



f(x)^f(a) + {x-a)f\a)^elc.+ /^~°^°"'„ -(f-'ia) 



1.2...(n — 1) 



+ ^^~^^l f\a+e(x-a)). (1) 



Posons x—a=k, et après substitution remplaçons o par x. 

 Nous trouvons ainsi 



f(x+h)^fix)+hf'(x)-^.^r{x)+elc.-^ ^ a^'î'»-!) '^'"'^''^ 

 '^ 1.-1 n ^>+°^^- <2) 



fait-on simplement a=0 , il vient 



7fl^-l-p(^.-4 



f[^)-m+-m+-^.r\o]+eic.+j^~^-f'-\o) 



-fM- (3) 



1.2... n 



Au lieu de limiter ces développements par l'addition du terme 

 qui les complète, l'on peut concevoir qu'ils se prolongent à l'infini 

 suivant la loi de formation indiquée. Les séries , que l'on obtient 

 de cette manière sont généralement connues, l'une (2) sous le nom 

 de série de Taylor, l'autre (3) sous celui de série de Maclaurin. 



Il est permis en certains cas de substituer ces séries au développe- 

 ment limité de la fonction. Néanmoins on ne doit jamais perdre 

 de vue qu'elles n'ont d'autre fondement que celui qui résulte de la 

 possibilité présumée de prolonger toujours et suivant une loi cons- 

 tante le développement limité sur lequel elles reposent. Lorsque le 



(x a)" 



terme complimcntairc f''{a'\-i){x — o)) décroit indéfini- 



1 .2. . • n 



