29 i E. Lam-uilk. — Essai sur les principes 



ment à mesure que n augmente , les s6rics sont convergentes et 

 elles permettent de calculer, avec tel degré d'approximation que l'on 

 veut, la valeur des fonctions qu'elles servent à dévelo[)per. Dans le 

 cas contraire, elles sont divergentes. Pour que les séries puissent 

 subsister, il faut que nulle dérivée ne devienne infinie, ou discon- 

 tinue à l'origine de l'intervalle que l'on considère. Ces conditions 

 étant supposées remplies , les séries sont convergentes pour tout 

 ou partie de cet intervalle- 



43) Soit à développer (x+h]" par la série de Taylor. La fonc- 



j, • / j I. 1 m(m— l)...(m — M + l) „„ 



tion X a pour dérivée de 1 ordre n—r-^ — - — ■ ^ ■ x . 



' 1. 2 .. • « 



Cette expression restant en général finie quels que soient a; et n , la 



série peut subsister. On a d'ailleurs pour terme complémentaire 



m{m — i]...(m — n-i-\) , , , , 



1. 2 ... n 



m{in — 1) ...(m — w-|-I) 



-0/i)"'.(- 



1. 2 ... « * ' ^ x-\-oh 



Or, si l'on suppose x'^h , ce terme converge indéfiniment vers 

 zéro h mesure que n augmente. La série subsiste donc dans cette 

 hypothèse et l'on a 



(■c+/t)°'=a;° + wAj'°-' + - .^ ' ./t'jC'-' + etc. 



On observera que , pour toute valeur entière et positive de l'ex- 

 pos.intjn, les dérivées s'annulent à partir de l'ordre m+l.Eu ce 

 cas le développement est limité , et il vient quels que soient x et h 



(x+/i)'°=x'°+mAa;'°-'+ctc.+mxA'°-'-»-A» (0 

 Développée de la même manière la fonction log(x+A) donne 



, , ,, ■ /i 1 /»= , I A' 



lug.(a-+//) = log.xH :r~T■^-^7-:^s — ^Ic. 



Celle série subsiste comme la précédente pour toute valeur de x 

 supérieure h h. 



44) Soit maintenant la fonction a' à développer par la série de 



(i) La fmmule (,2) cUi K" 30 conduit imméilialcmi'iit à ce réouUat. 



