fondamentaux de l'analyse transcendante. 205 



Maclaurin : on a /■°(0) = (log. a)" et pour terme complémentaire 



1.2... n l « -' 



r (^— °)'og « 1 



n -* 



ce ferme conyergeant vers zéro à mesure que n augmente indéfini- 

 ment, la série subsiste quelque soit x et l'on a toujours 



, , , *'(log.o)' a'(log.a)' 

 a'=l+^log.aH 4V"+ 1.2 3 +°"- ^*^ 



Posons a=e base du système dos logarithmes Népériens : il 

 Tient log. a=!og. e=l et par conséquent 



e'=l+.+ ^+-^+etc. 



ou faisant a;=l 



Veut-on déterminer pour cette dernière formule les limites de 

 l'erreur que l'on commet en s'arrêlant au terme du rangw+1, 

 l'on remarque que les quantités désignées ci-dessus N " 33 par M 



et m sont les valeurs maxima et minima du rapport — ' ^°' 



' ^ {x—af 



d^=L 



^'~' r JA ■ ' "" 1-(1— a:)e' 



= • La dérivée = :; restant touiours po- 



X dx X' j r 



sitive depuis x—0 jusqu'à x^l le rapport croit continuement 



(!) la formule de Maclaurin n'est point aijplicable au développement de la 

 I 



fonction o ■» . On se rend compte de celte circonstance en observant que le 



!_ _ j_ 



symbole a o exprime, non pas une valeur effective de la fonction a ' , 

 mais une limite que cette fonction ne peut jamais atteindre , bien qu'elle y tende 

 indéfiniment à mesure que x converge vers zéro. 11 y a donc solution de continuité, 

 et il impoite d'en faire la remarque , car autrement le fait que nous venons de 

 signaler serait inexplicable. 



