300 E. Larmaulr. — Essai sur les principes 



dérivées successives, en s'arrêlant pour chacune de ces valeurs & 

 la première des dérivées qu'elle ne fait pas évanouir. On sait d'ail- 

 leurs comment le rang et le signe de cette dérivée indiquent la 

 marche de la fonction à partir de la valeur que l'on considère. 

 Soit pour exemple une fonction de deux variables , 



z=¥{x,y) 



En opérant comme au N° 45 on doit poser 



Or il faut qne cette relation subsiste indépendamment de tonte 

 détermination des fonctions arbitraires , Ç(t) , ■t{t). Il en résulte 

 donc 



Jf_=0, -^=0. (1) 



Les valeurs de x et y qui satisfont à la fois à ces deux équations 

 devantétre substituées dans les dérivées successives/"(<),/""'(0,etc., 

 il vient d'abord. 



Observons que la dérivée seconde {"{t) se présente ici sons une 

 forme particulière. Cette forme est précisément celle qu'elle affecte 

 en général , lorsque disposant jusqu'à un certain point des fonctions 

 (p[t),^j[{\, on les suppose toutes deux linéaires. La même simplifi- 

 cation se reproduirait pour la dérivée troisième {"'{(),s\ les valeurs 

 déduites des équations de condition (1) , annulaient les dérivées 



.. d'z d'z d'z . . , . 



oartielles r . ■ r- . et ainsi de suite pour toutes les 



*^ Ax' AxAy ày 



dérivées successives. 



Cela posé , l'on voit qu'en ce qui concerne les substitutions à 

 faire dans la suite de ces dérivées , il est permis de supprimer 

 d'avance les termes où figurent les coefficients différentiels <î'"(0) 

 f"{t) ,(p"'{.t) , /"(<)» etc. Si la suppression est permise, en même 

 temps que la substitution devient nécessaire , c'est parce que cha- 

 cun de ces coefficients se trouve affecté d'un fadeur qui s'évanouit 

 et non parce qu'ow dispose en aucune façon , des fonctions arbi- 

 traires <p{t) , ^((). On arrive , au même résultat , lorsqu'on traite 



