fondamentaux de l'analyse transcendante. 303 



la courbe »/=/'(^) au poiut a-„,j/„. Cela résulte de ce qu'en suppo- 

 sant permanente la loi de génératiou des grandeurs Ay ,^x, l'on 

 n'altère point la direction suivant laquelle la continuité s'établit à 

 l'origine de ces accroissements. 



Considérant cette ligne, et substituant aux différentielles les dif- 

 férences qu'elles expriment, il vient 



y—yo^î\xXx—x,) 



c'est-à-dire l'équation d'une droite. La ligne, dont il s'agit, est 

 donc la tangente elle-même. 



Soit ensuite une courbe quelconque dans l'espace 



les mêmes considérations donnent pour les équations de la tangente 

 au point a;,,j/„,z„, 



dx=<p'{z„)dz, d\j=i\z^dz 



c'est-à-dire 



Tout accroissement effectif, pris par rapporta la tangente est 

 accroissement différentiel par rapport à la courbe. Si donc on dési- 

 gne par s la longueur d'un arc mesuré sur la courbe et par <x,ê, v 

 les angles que la tangente fait avec les axes coordonnés, supposés 

 rectangulaires , il vient en vertu des propriétés de la droite 



ds=]/dx'+dy'+dz' 

 dx 



Cosa= 



Cosl= 



Cosy = 



ds 

 dy 



~dr 



dz 

 ds 



Les résultats, que nous venons d'obtenir, s'établissent, avec une 

 -égale facilité , lorsqu'on se fonde sur le principe (2) du N° 48. 



En effet, toute courbe pouvant être considérée comme engendrée 

 par le mouvement d'un point dans l'espace , il y a lieu d'observer 

 qu'un élément variable concourt à cette génération. C'est , pour 

 chaque position du point générateur , la direction suivant laquelle 

 le déplacement commence. Supposons d'abord celte direction quel- 



