fundamentaux de l'analyse transcendante. 305 



Courbure et rayon de courbure dans les courbes planes. 



51) Lorsque la continuité setablit sur une courbe , c'est suivant 

 une direction déterminée pour chaque point. Si la direction per- 

 sistait d'un point à un autre , la ligne serait droite. En générai la 

 direction ne persiste pas et elle varie avec continuité. De là nait la 

 courbure. On voit ainsi comment la courbure résulte des modifica- 

 tions continues subies par la direction tangentielle. 



Soit a l'angle qu'une tangente à la courbe y=f{x) , fait avec 

 l'axe des abcisses : l'on a 



et différenciant 



u=arc. lang. f'{x]. 



da=—- — — T-dx 



ou remplaçant dx par sa valeur 



i/i+r 



[X] 



d^=- --ds (I) 



{i+f'(xY)i 



Cela posé, si l'on rend permanente à partir du point i<, ,j/„ , la 

 loi qui régit la génération simultanée des accroissements angulaires 

 et arcuelsjl'on n'altère pas la courbure en ce point. Or, dans celte 

 hypothèse , les différentielles ne sont plus que des différences ordi- 

 naires. Il vient donc pour équation de la ligne qui résulte du 

 développement continu de la loi de génération , supposée perma- 

 nente à partir du point x„,y,, 



Aa=- — As. 



S*agit-il d'ailleurs du lieu géométrique déterminé par l'en'^embie des points 

 susceptibles d'être pris pour centres de rotation , il vient immédiatement, 



[( — x)di-\-{u—y)dy-\-[v — s)dz=0 



ty u , V étant les coordonnées courantes. 



De là, les équations des normales et plans normaux. 



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