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ou posant 



AS=/J„4D. 



La ligne reprcsontée par cette équation est évidemment une cir- 

 conférence de cercle ayant p„ pour rayon. Elle a en tous ses points 

 même courbure et cette courbure est celle de la courbe donnée au 

 point a"„,2/„. 



Le cercle ainsi déterminé prend , par rapport à la courbe , et 

 pour le point que l'on considère , le nom de cercle osculateur. Le 

 rayon de ce cercle a pour expression générale , 



On le nomme rayon de courbure. 



52) On voit d'après ce qui précède que le changement de direc- 

 tion , -pris à son origine , s'effectue sur la courbe de la même ma- 

 nière qu'en un point quelconque du cercle osculateur. On voit 

 également que , si plusieurs courbes ont en un point commun même 

 tangente , etque les dérivées du second ordre affectent môme valeur 

 particulière , ces courbes ont en ce point même courbure. Cette der - 

 nière conséquence peut s'établir directement et à priori. Il est clair 

 en effet que, pour une même valeur attribuée à la direction tan- 

 genticUe, le changement, que cette direction subit à l'origine des 

 accroissements , reste le même , soit que l'on considère la courbe 

 y=f[x), soit qu'on lui substitue la ligne qui a pour équation 



df'(x)^f"(x„) •dx-=c-dx. 

 Il suit de là , qu'étant donné l'équation générale du cercle 



[x—tY+{y-nY==p' 



et par suite les équations différentielles 



a;— «+(v-=«')-^ = (1) 



Ax ^ ' 



si l'on Teut que ce cercle soit osculateur à la courbe y=f(x) au 

 point «o,y„, il suffit de poser dans ces trois équations; y=y„ , 



(lij d^y 



^=■5".. -^ =A'(2"") , -~- = /"(j-J. En opérant de cette ma- 



