fondamentaux de l'analyse transcenilante. 3U9 



cl jiur suite 



Les valeurs, que l'on obtient ainsi pour (p'[a) et a4>'[a) — (p(a) , 

 coincident avec celles que nous avons trouvées N° 52 pour les 

 coordonnées du centre de courbure. Il est donc vérifié que le lieu 

 de ces centres est l'enveloppe des normales. 



54) Reprenons les équations du N" 52. 



(x-iy-+(y-uy==p' (1) 



(x-t) +(y-u)f\x}=0 (2) 



l+f'ixY+{y~u)f"(x)=0 (3) 



et rappelons nous qu'il sulBt d'attribuer aux variables, x,ij , les 

 valeurs qu'elles affectent en un point quelconque de la courbe 

 y^f{x) , pour qu'en ce point le cercle osculateur se trouve déter- 

 miné , 1° par son rayon p ; 2° par les coordonnées de son centre 

 u et t. 



Les équations (1] (2) (3) subsistant avec cette même signification 

 pour tous les points de la courbe y=f{x) , l'on peut les considérer 

 indépendamment de toute valeur particulière attribuée aux varia- 

 bles X , y. En ce cas , les quantités p,t ,u, sont fonction de ces 

 variables et si l'on différencie les équations (1) et (2) , il vient , eu 

 égard aux réductions que les équations (2) et (3) permettent d'ef- 

 fectuer : 



[x—t]dt+{y—u]du=pdp (4) 



dt+f'{x).du=0. (5) 



L'équation (5) exprime que la tangente au lieu des centres de 

 courbure est normale à la courbe donnée. Soit a l'angle que cette 

 tangente fait avec l'axe des abscisses, on a 



X — t dt 



-=^cosw=- 



p (la- 



y — u . du 



=sin M=- 



P <i(T 



et substituant ces valeurs dans l'équation ^4). 



ér=dp. 



La loi qui régit la génération simultanée des différences M , ûp 

 est constante : il vient donc aussi 



