318 E. Lamakle. — Essai sur les principes 



Bayons de V" et 2""° courbure. 



62) Pris h son origine , le changement de direction tangcnticlle 

 s'effectue dans le plan osculatcur. De là résulte une première cour- 

 bure. D'un nuire côté , si la courbe n'est point plane , il y a dépla- 

 cement continu du plan osculatcur et c'est par rotation autour de la 

 tangente que ce plan change incessamment de direction dans l'es- 

 pace. De là , une sorte de torsion nommée deuxième courbure. Cette 

 deuxième courbure peut , ainsi (jue la première demeurer cons- 

 tante, ou bien varier d'un point à un autre. Dans tous les cas si 

 l'on représente par Aa' l'angle de deux plans osculateurs qui corres- 

 pondent respectivement aux deux tangentes dont l'angle est Aa, 

 il est évident que , la première courbure étant mesurée par le 



rapport — — = , la deuxième pourra I être par le rapport 



ds p 



da' 1 



— ;— = —;-. On observera seulement que dans ce cas les accrois- 



ds p' 



sements dififérentiels da , da' sont pris nécessairement à partir des 

 valeurs particulières «=0 , ffl'=0. 



Lorsque les deux courbures sont constantes en chaque point , la 

 courbe est telle que deux arcs quelconques égaux en longueur sont 

 toujours superposables. Cette condition suffit pour fixer la nature 

 de la ligne dont il s'agit. En efl'et, ce ne peut être qu'une hélice, 

 offrant comme cas extrêmes le cercle et la droite. 



Cherchons l'expression générale des rayons p,p', de première et 

 deuxième courbure. 



Soit a l'angle de deux droites , l'une fixe et faisant avec les axes 

 coordonnées les angles a, g, y; l'autre de direction variable et 

 faisant avec les mêmes axes les angles a,' ,& , .^ . L'on a 



C0SB=-C0S a:COS a'+COSêcOS ê'-(-C0S7 cos •/'. 



d'où différenciant 



di 



cosa.ffcosa'-j-cosê.tfcosg'+cosy.rfcosy' 



sin(<). 

 Le changement de direction que l'on considère devant être pris 

 à son origine, c'est-à-dire lorsque commence la génération de 

 l'angle a , l'on doit poser dans celle équation , 



