fondametitaux de l'analyse transcendante. 321 



Les mêmes résultats peuvent s'obtenir , soit en partant de l'équa- 

 tion générale du cercle et opérant comme au N" 52, soit en consi- 

 dérant la surface enveloppe des plans normaux. Cette surface est 

 développable et sa génératrice rectiligne a pour équations , 



(t—x)dx-\-{u—y)dy+{v—z)dz=0 (I) 



(t—x)d'x+(u—y)d'y + {v—z)d'z=0. (2) 



L'expression 



[d'x[dyd'z—dzd'y)+d'y[dzd'x—dxd'z]-j-d'z[dxd'y—dyd'x)] 

 étant identiquement nulle, le plan (2) est, ainsi que le plan (1), 

 normal au plan osculateur. La même condition subsiste donc pour 

 la droite (1) (2). Or c'est en commençant par tourner autour de cette 

 droite que le plan normal se déplace sur la courbe. Le centre de 

 1" courbure se trouve donc au point d'intersection de la droite 

 dont il s'agit avec le plan osculateur. 



Si l'on observe que tout plan normal touche la surface enveloppe 

 le long de la génératrice sur laquelle est situé le centre de cour- 

 bure , l'on peut en conclure immédiatement que la tangente au lieu 

 de ces centres est contenue , pour chaque centre , dans le plan nor- 

 mal correspondant. Cette tangente est donc perpendiculaire à la 

 courbe donnée. Elle ne doit pas être confondue avec la normale 

 principale. Celle-ci est dans le plan osculateur : l'autre s'en écarte 

 généralement. 



Détermination directe des rayons de l'^ et 2'°° courbure 

 dans l'hélice. 



64) Soit (fig. 2) une hélice tracée sur vin cylindre droit à base 

 circulaire , R le rajon du cylindre , et /i la tangente de l'angle que 

 la touchante à la courbe fait avec le plan de la section droite. 



Prenons sur cette hélice un point quelconque m. Le plan mené 

 par la touchante ma et par la droite mf normale au cylindre est le 

 plan osculateur de l'hélice au point m. Cela résulte de la position 

 symétrique que les deux branches de la courbe affectent de chaque 

 côté de ce point par rapport au plan dont il s'agit. On voit d'ail- 

 leurs que dans la génération de l'hélice , le plan tangent map com- 

 mençant par tourner autour de la droite mp , la continuité s'établit 

 pour le point a suivant la droite ac normale à ce plan. 



Cela posé , considérons les angles que tendent à décrire respec- 

 tivement les droites ma , pa , lorsque la rotation commence autour 

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