324 E. Lamalrk. — Essai sur les principes 



Courbure des surfaces. 



65) Soil une surfaee, 



z=T(x,y) 

 Pour abréger , nous représenterons par p et g les dérivées par- 



tielles du premier ordre , et par r , s , t , les dérivées 



àx Ay 



partielles du second ordre — r — , — , — ~. 



A-X AlAy ' Ay' 



Soit un point de la surface. En ce point , où nous supposons 

 l'origine des coordonnées transportée , le plan tangent a pour 

 équation 



dz — pdx — qdy = (1) 



et , eu égard à la direction de ce plan , la courbure d'une section 

 quelconque se trouve complètement déterminée par l'équation dif- 

 iérentielle , 



d'-z-pd'x—gd'y=rdx^ + 2sdxdy+ldy' (2) 



Considérons le cercle osculatenr à l'une de ces sections , pour le 

 point dont il s'agit, et, quel qu'il soit, concevons le tracé sur la 

 spLère 



{x-ay + {y-bY + {z-cy^p' (3) 



Par Lypotbèse la sphère passe par l'origine, et l'on peut l'assu- 

 jettir à toucher en ce point la surface donnée. On a donc d'abord 



puis différenciant l'équation (3) 



{x—a)dx+(,y~b)dy + {z—c)dz=0 (4) 



et posant x=0, «/=0, s=0 



adx-]-bdy-]-cdz=0 

 Delà résulte 



_a J___ 



c c 



cl par conséquent , 



