fondamentaux de l'analyse transcendante. 325 



Veut-on maintenant que pour les sections faites par un mêms 

 plan , l'une sur la surface donnée , l'autre sur la sphère , le point 

 de contact devienne un point d'osculation , il faut exprimer qu'en 

 ce qui concerne respectivement chacune de ces deux sections, la 

 loi de courLure est , en ce point , la même pour les deux surfaces. 

 Différencions en conséquence l'équation (4) et posons a:=0, 

 y=0, 2=0 , dans le résultat de la différenciation. Il vient ainsi , 



ad'x-\-bd'y+ed'z^dx'+dy'+dz'=ds' 



ou remplaçant a et 6 par leurs valeurs 



ds' 

 d'z—pd'x—qd'y=^ (5) 



Observons que si le plan sécant esl déterminé, l'on peut considérer 

 les quantités ds , dz,dy , dz comme l'étant aussi. Donc alors pour 

 faire coïncider les équations de courbure (2) et (5), il suffit 

 d'écrire , 



rfs' 

 =rdx'+2sdxdy+tdy' (6) 



et l'on en déduit immédiatement 



_ rfs't/l-4-/)'-l-g' ^7, 



^ rdx'-i-2sdxdy-t-ldy' 



Cela posé , s'il s'agit d'une section normale , la section qui lui 

 répond dans la sphère est un grand cercle et elle a pour rayon de 

 courbure le rayon p de la sphère. S'agit-il au contraire d'une sec- 

 lion oblique, la section correspondante est un petit cercle. Néan- 

 moins la sphère , sur lequel ce cercle est tracé , ne change pas si les 



. , dx dy 1 . ,,,.., 



quantités -- — , — :^ restent les mêmes, cest-a-dire si la section 

 ds ds 



oblique a même tangenle que la section normale. Or en ce cas dési- 

 gnant par £ l'angle des deux sections et par R le rayon du petit , 

 cercle , on a évidemment 



R=/!Cosî (8) 



Donc , pour toute section normale le rayon de courbure est 

 fourni par l'équation (7) , et , pour toute section oblique ayant 

 même tangente , par l'équation (8). 



1! suit delà que la courbure en un point donné d'une suifirc so 



