330 J -C. CuAssisuK — jVo/c sur un nouvel 



Les deux ilcniières équations (2,3) iloniiciit , en éliminant succes- 

 sivement sX et sY , les deux équivalentes 



, a a' ■. „ / b A' V 



qui ne peuvent exister à moins que l'on ait séparément 

 sX=OctvY = 0....(OT) ; 



car le facteur (-- -y-) égalé à zéro conduirait h conclure que 



les deux points (a,b) , (a',4') sont en ligne droite avec l'origine , ce 

 qui est contre l'bypothèse que nous avons faite. Or, les deux dernières 

 équations ïX = 0,sY=0 avec l'équation (1) expriment précisé- 

 ment les conditions connues pour l'équilibre d'un système de forces 

 situées dans un même plan ; donc , etc. 



Second cas : les forces sont situées dans l'espace. 



Tant de forces que l'on voudra , appliquées d'une manière quel- 

 conque à un système de points invariablement liés entre eux, se 

 font équilibre lorsque, ces forces étant projetées successivement sur les 

 trois plans coordonnés recianrjulaires , la somme des moments des 

 projections de ces forces sur chaque plan coordonné est nulle d'abord 

 par rapport à l'origine et puis par rapport à un autre point quel- 

 conque de ce plan ; seulement les trois points quelconques .choisis 

 respectivement dans les trois plans coordonnés , ne doivent pas être 

 les projections d'un même point de l'espace. 



Démonstration. Représentons 



par P , P', P", etc. les forces données , 



par {x,y,z) , {a/,y',s^) , (x",i/",z") , etc. les coordonnées de leurs 



points d'application. 



Décomposons chacune des forces en trois respectivement paral- 

 lèles aux trois axes rectangulaires et désignons 

 par X , X', X", etc. leurs composantes parallèles à l'axe des r , 

 par X , Y', Y", etc. leurs composantes parallèles à l'axe des y, 

 par Z , Z' , Z" , etc. leurs composantes parallèles à l'axe des «. 



Cela posé, pour exprimer d'abord que la somme des moments des 

 projections de toutes les forces sur chaque plan coordonné est nulle 

 par rapport à l'origine , nous aurons les trois équations connues 



i{\y~Yu-)^0, s(X:-Zr)=0, ï'^Z^— Y^) = 0... (m). 



