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XII. — Suite du Mémoire sur la résolution des équations 

 numériques , 



Par J. MARTYNOWSKI , 



ToaE raExiER, p. 290. 



§ V. Méthode de Newton. 



46. On connaît la règle donnée dans tous les traités élémen- 

 taires d'algèbre, pour abréger l'extraction de la racine m d'un 

 nombre , par laquelle connaissant les n-\-l chiffres , on trouve les 

 n suivants, en divisant le reste de la racine par m fois la puissance 

 m — 1 de la partie trouvée de la racine. Cette règle , qui n'est autre 

 chose d'ailleurs que la méthode donnée , en premier lieu , par New- 

 ton , pour le calcul des racines d'une équation numérique, s'appli- 

 que indistinctement à toutes les fonctions et fournit , dans leur 

 évaluation numérique, le même degré d'approximation que dans 

 l'extraction des racines. 



L'extension dont cette règle est susceptible , les caractères qui 

 la rendent propre au calcul des racines d'une équation et le rappro- 

 chement qu'elle fournit avec le théorème de Paoli , constituent l'objet 

 des considérations actuelles. 



47. Soit o la valeur approchée d'une fonction d'une seule varia- 

 ble , telle que v=(fx; et soit z la correction, dont il faut augmenter 

 a, pour avoir 



v=(px — a-^-z ... (I). 



Désignons par ■■\i la fonction inverse de , savoir : 



x=i>v=-^{a+z) ... (2), 



et développons celte dernière , par la formule de Taylor, en prenant 

 ;: pour accroissement ; nous aurons : 



x=■4Ja+■Va.z+\.^l,"a.z^+ ... (3); 



ou bien 



4>a ya 2.3 4/ a 



■4''o,>//'a,>;."'a, ... désignant les dérivées successives de ■'pa. Cela 

 posé, si z est une quantité assez petite pour pouvoir négliger les 



