sur la résolution des équations numériques. 447 



II. Newton n'a appliqué sa méthode qu'au calcul des racines 

 d'une équation numérique. Présentée , sous la forme de la série (A), 

 elle offre une véritable extension , dont nous avons parlé , N° 46, 

 En effet, quelle que soit l'équation 'Pv—x^O, algébrique ou trans- 

 cendante ; le fait est que la série (A) donne la génération de la 

 quantité v en fonction de sa valeur approchée a et de la constante x. 



III. En examinant la série (A) , on voit que les numérateurs des 

 fractions , suivant lesquelles elle procède , ne sont autre chose 

 que la proposée x — ^y=0 , pour t; égal successivement a a, à, a",... 

 Donc, si X — fa, x — M', x — ^a",.... diminuent de plus en plus, 

 la série (A) est convergente. Cette circonstance a fait dire aux Ana- 

 lystes que la méthode de Newton est toujours applicable au calcul 

 des racines d'une équation , pourvu que la valeur approchée de l'une 

 d'elles soit suffisamment constatée- Mais si on prend , au hasard , 

 un nombre a , pour le substituer dans la série (A) ; il se peut , 

 qu'au lieu de converger, on diverge plutôt de la véritable valeur 

 qu'on cherche à assigner. Le fait est que la méthode de Newton 

 donne la génération d'une quantité auxiliaire, différente, quant à 

 sa nature , de celle qu'on cherche ; de sorte que , selon les circons- 

 tances , ou la direction donnée au calcul , l'on approche de cette 

 dernière ou l'on s'en écarte. En un mot , la méthode de Newton 

 donne ce dont elle est susceptible et non ce qu'on lui demande la 

 plupart du temps^ C'est donc à saisir l'esprit de la méthode que nous 

 devons, avant tout, nous attacher. 



48. Posons , pour abréger , 



X — 'Pa 



; =" ) 



fa ' 



*"o 1 f'a 1 ^"'a 



' ■P'a " 2-3 fa " 2-3. i Va " 



et l'équation (4) du N» précédent deviendra 



u=z+a,z^+atz'+a^z*-\- .... (1) 

 C'est de cette équation que Newton déduit la correction z en posant 

 z—u, en admettant que les termes qui suivent z sont assez petits 

 pour être négligés. On voit que , pour cela même l'équation New- 

 tonienne z=u ne donne que la quantité auxiliaire de celle qu'on 

 cherche, et qu'on trouverait en résolvant l'équation (1) par rapport 

 à 2. Bien que cette résolution soit impossible , sous le point de vue 

 théorique, elle peut néanmoins s'effectuer en série. En effet, si u 

 est une fonction de z ; réciproquement z est une fonction de m, et 

 comme telle, elle peut se développer suivant les puissances ascen- 



