448 J. M.\Rtx:iowf:Ki. — Suite du Mémoire 



diiiiles de celte dernière. Donc , on peut poser 



i=«+C,-«'+C:.M'+C3Î«'+ ... (2); 



c, , c. , Cj , ... élant des coëlTicienls à déterminer. 



Tel est , en dernier lieu , le développement de la correction z , 

 différente de celle que Newton emploie, à moins que l'on ne suppose 

 M 1res petit. 



Arrêtons-nous sur le développement (2). 



Lorsque u est donné en série qui procède suivant les puissances 

 de z et que, réciproquement, on cherche à développer u suivant 

 les puissances de z , comme il est posé , sous la marque (2) : ce der- 

 nier développement est ce qu'on nomme série en retour. Bien que 

 déjà Newton ait donné le moyen élémentaire de former cette série 

 (2) ; néanmoins elle n'est connue que sous le nom du théorème de 

 Paoli , parce que le dernier savant en a fait connaître la génération. 



Nous commencerons par exposer d'abord le procédé de Newton , 

 pour trouver la série (2). 



Après avoir formé les puissances 1 , 2 , 3 , ... de 2 , comme il est 

 posé, sous la marque (2) , substituons les expressions résultantes 

 dans la série (1) et nous aurons l'identité suivante : 



-fa, j -f2a.c. -ha.(c;+2c,.) 



-1-0. ) +3ajC, ) 



En comparant les coefficients de mômes puissances de m , dans 

 les deux membres de cette équation , il viendra 

 c.+a, = 0, 

 c,-f-2o,c.-Ha, = 0, 



etc. etc. 



Telles sont les équations , données en premier lieu par Newton , 

 au moyen desquelles , on peut calculer les coëfTicients e, , cj, Cj , ... 

 de la série en retour (2). Le progrès que la science a fait, dans le 

 dernier siècle , en employant les lettres numérotées , pour désigner 

 les coefficients successifs d'une série , et en répartissant ces coeffi- 

 cients en groupes de un , deux , trois , ... facteurs , permet aisément 

 de donner la loi de formation des coefficients c, ,c, ,c,, ... qui 

 nous occupent actuellement. Ainsi , en se rappelant les opérations 

 que nous avons , à l'article du développement de la puissance quel- 

 conque d'un polynôme indéûoi, désignées par a„c, ,OnCj, o„C3, ...; il 

 sera aisé en les employant de faire ressortir la loi de formation des 



