sur la résolution des équations numériques. 44'J 



coëilicients c, , Cj , c, , ... , comme il suit : 

 c.=—a., 



c.=-a.+4(-^), 

 c,=—a,+5{a,a,)—5.6 { ^ °j_^ ) , 



etc. etc. 



généralement 



Cn.= — a^cl 4-(m+2) • a^c2 — (»»-f-2) (m+3) ■ Omc3-f- 

 + (m+2) (m+3) (m-i-4) • amc4— etc. 



Telle est la loi da coefficient général de la série en retour. Il me 

 suffit , pour le moment , de faire connaître celle loi , démontrée par 

 induction ; en renvoyant, pour plus amples détails, sur ce sujet , à 

 une noie supplémentaire, qu'on trouvera à la fin do ce mémoire. 



Cette formation si simple des coefficients c, , c^ , c, , ... a pour- 

 tant coûté des efforts inouis au géomètre italien , Philippe Rubiani , 

 qui après avoir calculé ces coefficients , jusqu'au neuvième rang 

 inclusivement, était obligé, pour s'assurer de son travail, de 

 recourir à des nombreuses épreuves. 



La série en retour , dont cous venons de donner le développe- 

 ment final , n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général , 

 qui consiste à développer une fonction , suivant les puissances de 

 toute autre fonction donnée : théorème communément connu sous 

 le nom de Paoli , parce que ce géomètre s'en était occupé le premier. 

 Paoli a été pourtant loin d'atteindre la perfection signalée par la 

 déduction des coefficients de la série en retour, que nous venons 

 d'exposer ; mais étant parvenu à donner, au théorème en question , 

 le cachet qui lui est propre ,il est en plein droit de le revendiquer 

 en sa faveur. 



Voici en quoi consiste la déduction de Paoli. 

 Soit une fonction de x , tel que u=Fx et supposons que x soil 

 lié à 2 par l'équation z=(px ; ils'agilde développer u suivant les 

 puissances ascendantes de s. En éliminant x entre les deux équa- 

 tions u=Vx , z=Cpx ; il est évident qu'on parviendra à exprimer u 

 en fonction de z et l'on aura , par exemple , u^^'pz. Si cette élimi- 

 nation , était toujours possible , on aurait le développement de u 

 en z , par le théorème de Maclaurin , comme il suit 



1 ' ° 1.2 ' " 1.2 ' 

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