sur la résolution des équations numériques. 451 



Ainsi des autres. En rassemblant ces résultais, on a 



1 d 



ax 



Cp'x 



• d r \ d ,^.1 



1 rf r 1 d r 1 '' rr'ni 



Cp'x '^^ (p'x ^^ cp'x "•^ 

 etc. etc. 



Telle est la déduction , donnée par PaoH lui-même , du théo- 

 rème qui porte son nom. 



Appliquons les expressions précédentes à la série en retour. 



Le point de départ , pour le théorème de Paoli , étaient les équa- 

 tions M=Fa;, z=(px. 



Or, si au lieu de F», on prend simplement x, tes équations 

 précédentes devenant u^x , z = cpx ; oa voit qu'il n'est question ici 

 d'autre chose que de développer a; en fonction de z , lorsque celle-ci 

 est donnée en fonction directe de celle-là. Ainsi , rien ne change 

 dans les expressions précédentes de m„, «,', u",... si ce n'est que 

 la fonction Fa; devient proprement x. Par suite de celte dernière 

 circonstance, les expressions u», «„', u", ... deviennent 



d r l 



dx - ^^ 



-i_r_i i-f-L.]] 



cp'x <^^ Cp'x <i^ (p'x •'■' 

 etc. etc. 



En effectuant les opérations indiquées , au moins pour quelques 

 premiers termes , on aura 



Uo—X , 



uj = {cp'x)-', 



uj'=-[cp'x]-\cp"x, 



«„'" = — (vÈ'i)-' .0'"i+3. (0'i)-' . (0"i)-= , 



-l5-{cp''x)-'-[0"xY , 

 etc. etc. 



