sur la résolulion des équations numériques. 453 



trigonométriques de ces angles , désignées par j,', diminuent aussi. 

 Donc , la simple inspection de l'expression précédente de ^"o fait 

 voir que, dans le cas oii la courbe tourne sa concavité vers l'axe 

 des X, l'ordonnée de la courbe et la seconde dérivée sont de signes 

 contraires. On démontrera de la même manière que , dans le cas où la 

 courbe tourne sa convexité vers l'axe des x, l'ordonnée et la seconde 

 dérivée sont de même signe. 



De là il résuite aussi que , selon le cas du maximum ou du mini- 

 mum , l'ordonnée et la seconde dérivée sont de signes contraires ou 

 de mêmes signes. 



Au point où la courbe passe du concave au convexe et récipro- 

 quement, la seconde dérivée s'évanouit. Ce point de la courbe, 

 appelé point d'inflexion , est encore caractérisé par ce que la tan- 

 gente en ce point est en même sécante à la courbe. 



Ces préliminaires posés, il nous sera facile de rendre compte de 

 ce qu'est la méthode de Newton en elle-même et quel est son emploi 

 dans l'évaluation des racines d'une équation. 



Pour cet effet, par le point de la courbe (Il correspondant à 

 l'abscisse a , savoir, par le point dont les coordonnées sont a, <pa — x , 

 menons la tangente à celte courbe. L'équation de cette tangente 

 sera , comme nous l'avons fait sous la marque 3°, 

 y' — {Pa — x) =^'o(a;' — a). 



Au point où cette tangente coupe l'axe des a;, on a y'=0- Donc, 

 en posant «/'=0 et en représentant la valeur correspondante de x' 

 par x„', on aura la distance de l'origine au point où la tangente 

 coupe l'axe des x , savoir : 



X — •Pa 



a;„'=a-l 



f o 



On voit que cette expression n'est autre chose que la réduite a' de 

 la série (A) , N° 47. Il résulte aussi de là que la correction , dési- 

 gnée dans cette même série (A) , par z', n'est autre chose que la 

 soutangente proprement dite. 



En poursuivant la même marche , il sera aisé de démontrer que 

 la réduite désignée , dans la série (A) , par a", n'est autre chose que 

 la distance de l'origine au point, où la tangente à la courbe (1) , 

 menée par le point correspondant à l'abscisse a', coupe l'axe des x. 

 De cette considération il est aisé de conclure que , si cette nouvelle 

 tangente coupe l'axe des x, entre la première tangente et la courbe, 

 il y a avantage d'employer la méthode de Newton. Ainsi , en sup- 



