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posant que les équations ^u — a;=0 et ^"«=0 n'ont pas de racine 

 commune , et en désignant les racines différentes de ces équations 

 par V, et v^ ; si une valeur, telle que a, tombe entre v, cl Dj cl 

 si la courbe proposée est toujours concave ou toujours convcx<! 

 dans l'étendue de v, h v^; il est évident que la réduite a' est plus 

 rapproché de la racine de ^y — x=0 que no l'était d'abord a ; de 

 même a" plus rapproché que a', et ainsi de suite : ces valeurs a, 

 a', a", .... étant sans discontinuer décroissantes ou croissantes et 

 convergentes vers la racine en question. 



Ces considérations donnent nécessairement lieu au théorème 

 suivant : 



Toutes les fois que la valeur approchée a de la racine de l'équa- 

 tion <pv — x=0 , tombe entre cette dernière et la racine immédia- 

 tement plus grande ou plus petite de ^"«^0, pourvu que dans 

 l'étendue de a à « il n'y ait point de racine de ■^'« = , il y a avan- 

 tage d'appliquer la méthode de Newton. Je démontrerai encore ce 

 théorème dans le N° suivant , abstraction faite de toute construction 

 géométrique ; et je ferai ici quelques remarques curieuses , pour 

 compléter les considérations précédentes. 



Puisque la méthode de Newton consiste à mener la tangente à la 

 courbe (1) , au point correspondant à l'abscisse a et à chercher la 

 distance de l'origine au point où cette tangente coupe l'axe des x ; 

 si cette tangente est proche de celle qui passe par l'un des points 

 limites , il est aisé de voir qu'elle peut couper l'axe des x , en dehors 

 de toutes les intersections de la courbe avec ce môme axe des x. 

 Dans ce cas , la méthode de Newton est fautive , parce qu'elle 

 n'offre aucun rapport avec la racine qu'on cherche à évaluer. 



Puisque , à chaque réduite trouvée , il faut mener une nouvelle 

 tangente h la courbe ; en joignant les points de contacts par des 

 lignes droites , il en résulte un polygone inscrit dans la courbe : et , 

 en joignant les points d'intersection des tangentes elles-mêmes, 

 dans l'ordre de leur succession , deux à deux , un polygone cir- 

 conscrit. Cela posé, si les réduites a,a',a'\ ... convergent en 

 croissant ou en décroissant vers la racine v de fv — x=0 ; les deux 

 polygones en question suivent le cours de la courbe , jusqu'à ce que 

 les derniers éléments de ces polygones se confondent avec l'élé- 

 ment de la courbe , au point où cette dernière coupe l'axe des x. 

 C'est le cas le plus avantageux de la méthode de Newton. 



Dans tout autre cas , les deux polygones en question peuvent 

 osciller soit autour de l'un des points limites , soit autour de l'in- 



