sur la résolution des équations numériques. 457 



fersection de l'axe des x avec la courbe ; je dis osciller , car les 

 poinls de contact , qu'on obtient par la méthode de Newton , tom- 

 bent alternativement en deçà ou au delà du point limite ou du point 

 d'intersection de l'axe des x avec la courbç. 



Loin de dire que la méthode de Newton est seulenient avanta- 

 geuse dans le cas ou la première réduite de la série (A) tombe entre 

 les racines de'fw— x=Oet ip"u = 0, immédiatement les plus proches ; 

 il se peut qu'elle offre encore quelque avantage , si les points des 

 contacts des deux polygones , dont nous avons parlé , viennent se 

 poser alternativement en deçà et au delà du point d'intersection de 

 l'axe des x et de la courbe. 



50. Cherchons maintenant à établir le critérium de la méthode de 

 Newton par des considérations purement analytiques. 



En arrêtant la série (3) du N" 47 à deux termes seulement , on 

 peut la rendre complète , au moyen du terme complémentaire N° 7 , 

 savoir : 



x — 'Pa=-'P'{a+Oz).z. 



Si dans cette équation , on pose successivement e=Oet=I , on 

 a les limites du premier membre ; et par suite 



x—'l'a ■> ^ x—'Pa. 



Examinons maintenant les conditions d'existence de cette inégalité, 



1. D'abord, pour qu'il y ait quelque rapport entre les limites et 

 la quantité qu'elles limitent , il faut qu'elles soient toutes trois de 

 même signe. En observant que les termes extrêmes de l'inégalité ( I ) 

 sont des fractions, ayant x — fa pour numérateur ; on voit que ces 

 termes ne peuvent être de même signe que lorsque i'a et ^'(a-f-r) le 

 sont ; ou bien encore , l'orsque Vv=Q n'admet pas de racine dans 

 l'étendue de o à v = a-\-z. 



|I. Mais cette condition seule ne suffit pas. II faut encore que 

 ,f"i)=0 n'ait pas de racine de a à «. Car , si cola avait lieu, *'« 

 passerait par un maximum ou par un minimum; et l'inégalité (1) 

 ne pourrait toujours conserver le même sens. 



Au moyen de ces considérations on démontre le théorème , dont 

 l'existence a été entrevue n" 49 , par des considérations géomé- 

 triques. 



51. Occupons-nous maintenant de \% convergence de la méthode 

 de Newton. 



Soit •r'u— x=0 , équation dont 1? racine v est comprise enire les 

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