sur la résolution des équations numériques. 459 



Donc , ^'v est de même signe que j,(v-\-h) — x , dans toute l'éten- 

 due de v—6h à v+Oh; donc aussi ^'[v) est de même signe que 

 'i'[v-\-$h] — x, dans toute l'étendue de v—$h à v+Sh. 



ÎII. Nous avons vu , N° 50, que les inégalités (2) , (3) , (4) et (5) 

 ne peuvent être admises pour le calcul des corrections qu'à condi- 

 tion que Vv et Vv n'aient point de racine dans l'étendue de a à A. 



Cela posé, ajoutons a aux deux membres de l'inégalité (2) et 



nous aurons 



X — 'Pa ^ , X — •fa ,„, 



a+ ; <v<a-] -, .... 6 



fa ^ ^ < ^^ 



Ainsi , on suppose que la réduite a est <t) et qu'une autre a< qui 

 s'en déduit tombe encore entre a et v. Cela posé, voyons ce que 

 deviennent les réduites suivantes , ou a', a", a'", .... On a , N° 47, 



X — ■'/a 

 o!—a= —- , 



X — •t'a' 



"C'o ' 



" Va" ' 



etc. etc. 



et on suppose déjà o<^a'<;t). Puisque o'<[t), ^'a' et x — ^o' sont 

 de même signe, d'après le Lemme II : donc, a"— o'>0 et par 

 conséquent a"y-a'. Or, l'inégalité (6) qui a lieu pour a<« doit 

 nécessairement subsister pour toutes les valeurs comprises entre 

 a c\. V : donc elle doit aussi subsister pour a', tel que a-<^a' Kv. 

 On a ainsi 



aj— 'fa' ^ ^ , x—'ia' 



» + — 7-, <«<<iH p ; 



•fa Yv 



et par conséquent o"<^u. De la même manière on démontrera que 

 o"'<a"'<^i). Ainsi , dès qu'on a deux nombres a et i qui compren- 

 nent la racine v de l'équation fu — x=Q et que, partant de la 

 réduite a , on tombe sur une autre a'-<^v ; toutes les autres réduites 

 o^o"', a",... continuées à l'infini, se conforment à la relation 

 o<a'<&"<a"'<.... <y. 



IV. Examinons maintenant l'inégalité (3). 



On a 



, X — •l'a ^ ^ X — fa 



a-\ >v>a+ — ...(7) 



■fa fv 



