sur la résolution des équations numériques. 461 



continuées à l'infini , se conforment à la relation 

 4>fc'>4">4"'> ....>î). 

 VI. Si l'on est dans le cas de l'inégalité (5) , savoir : 



>6— D>- 



on suppose byv et l'on tombe sur une autre h' <Cy. Cela posé , ort 

 veut savoir ce que deviennent les autres réduites b",b'" , ... 

 On a , comme au lemme V , 



Comme i'<i), on conclut par le lemme II, que -Ib' — x et -^'5' 

 sont de signes contraires : donc b" — 6'>0 et par suite é">i'. Or , 

 de ce qu'on a b' <Cv et b"yb' , on ne peut pas conclure que é'<A"<t'. 

 La mélbode de Newton n'offre pas de certitude dans ce cas. 



Scholie. En résumant les quatre derniers lemmes , on voit que la 

 méthode de Newton ne présente que deux cas de génération dis- 

 tincte : 



1° On partant de la réduite a<î) , on en trouve une autre o', 

 telle que a<o'<« : alors toutes les autres réduites a", a'", ... 

 continuées à l'infini , présentent la relation 



a<^a' ^a" <:^a!"<^ ....<« ; 

 2° ou bien , partant de la réduite A> u , on en trouve une autre b', 

 telle que byb'yv : alors toutes les autres réduites b",b"', ... con- 

 tinuées à l'infini , présentent la relation 



è>6'>A">fc"'>...>î!, 



Ainsi , dès qu'on tombe sur deux nombres a et, 6 , ne com- 

 prennant qu'une seule racine v, dans -d/v — x=0 ; on cherche à s'as- 

 surer que ces deux nombres a et 4 ne comprennent pas les racines 

 de -^'v et -yv , qui pourraient se trouver aux environs de la racine 

 V de \pv—x=^0. Celle première condition remplie, il faut essayer 

 l'un ou l'autre des nombres a et A , pour ramener la méthode de 

 Newton à se trouver dans l'un des deux cas, signalés dans cette 

 scholie. 



Cela posé , selon qu'on ejt dans le cas : a <a' < y ; ou bien 6> 6' > u ; 

 la série (A) du N" 47 donne la génération de la quantité v , quoi» 

 cherche à évaluer, comme il suit : 



X — Aa , x—éa' x — Jja" , , 



«=«+ — -, ,,. +—7-7: — I- ••■ A 



, ■■^b—x M'—x -iib" —X 

 , = i __ ^^^ __ ... (B) 



